一種絲驅(qū)連續(xù)體手術(shù)機(jī)械臂的設(shè)計(jì)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析*

盧佳佳，馮顯英*，杜付鑫，岳明君，屈梁成

(1.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061；2.山東大學(xué) 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061)

0 引 言

因具有減少患者創(chuàng)傷和出血量、縮短住院時(shí)間、術(shù)后恢復(fù)快等優(yōu)點(diǎn)，微創(chuàng)手術(shù)、單孔手術(shù)和自然孔口手術(shù)受到廣泛應(yīng)用[1]，這類手術(shù)通常是在體內(nèi)相對(duì)密閉的空間中來(lái)完成夾持、剪切、消融等任務(wù)。

由于缺乏足夠數(shù)量的自由度，傳統(tǒng)離散機(jī)械臂無(wú)法適用于狹窄擁擠的體內(nèi)環(huán)境[2]，由此推動(dòng)部分學(xué)者們開始研究多冗余自由度、高靈活性和安全性的柔性機(jī)械臂。

柔性機(jī)械臂一般可分為兩種：軟體與連續(xù)體。(1)軟體機(jī)械臂大多是利用仿生技術(shù)，從行為或功能上模仿自然界中的生物，如章魚觸手、大象鼻子等，一般多由硅膠、橡膠等彈性材料制成[3-5]，其理論上具有無(wú)限自由度。(2)連續(xù)體機(jī)械臂通常是將若干個(gè)相同或相似單元兩兩串聯(lián)[6]，或者是在管狀材質(zhì)側(cè)壁切割出切槽[7]，與軟體機(jī)械臂相比，其具有有限個(gè)自由度，但承受負(fù)載能力、可操縱性優(yōu)于軟體機(jī)械臂。

連續(xù)體機(jī)械臂的多冗余度特征使其較傳統(tǒng)離散機(jī)械臂獲得了優(yōu)良靈活性，但同時(shí)也導(dǎo)致其正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解變得困難。因此，許多學(xué)者采用不同方法對(duì)連續(xù)體機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題進(jìn)行了深入研究。HANNAN和WALKER[8]提出了分段常曲率假設(shè)，并基于這個(gè)假設(shè)建立了驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度到機(jī)械臂末端位姿的正運(yùn)動(dòng)學(xué)映射；TANG等[9]同樣基于分段常曲率假設(shè)建立了驅(qū)動(dòng)空間到工作空間的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；文獻(xiàn)[10-11]針對(duì)所設(shè)計(jì)的切口式連續(xù)體機(jī)械臂基于懸臂梁理論建立了驅(qū)動(dòng)力與機(jī)械臂末端位置之間的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；GREIGARN等[12]使用了基于雅可比矩陣求解連續(xù)體機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法；XU等[13]利用橢圓積分給出了多骨干連續(xù)體機(jī)械臂瞬時(shí)正運(yùn)動(dòng)學(xué)解析公式，建立了配置空間到工作空間的映射關(guān)系；文獻(xiàn)[14]提出了一種準(zhǔn)靜態(tài)條件下基于有限元方法的變曲率連續(xù)體機(jī)械臂正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法，建立了驅(qū)動(dòng)絲張力與末端位置的相互映射；文獻(xiàn)[15]利用Pythagorean Hodograph曲線建立了連續(xù)體機(jī)械臂末端位置到連續(xù)體機(jī)械臂長(zhǎng)度的逆映射模型。

上述方法雖然在連續(xù)體運(yùn)動(dòng)學(xué)方面解決了部分問題，但均沒有推導(dǎo)出連續(xù)體機(jī)械臂末端位置到驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析解，使得運(yùn)動(dòng)學(xué)求解效率較低，不能滿足絲驅(qū)連續(xù)體機(jī)械臂實(shí)時(shí)控制的要求。

針對(duì)上述問題，筆者設(shè)計(jì)一種新型連續(xù)體機(jī)械臂。

1 連續(xù)體機(jī)械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

連續(xù)體機(jī)械臂設(shè)計(jì)如圖1所示。

圖1 連續(xù)體機(jī)械臂設(shè)計(jì)

圖1中，機(jī)械臂主體是由若干個(gè)中間單元、基座、末端單元和橡膠軟管組成，橡膠軟管作為骨架將所有單元依次串聯(lián)起來(lái)，每?jī)蓚€(gè)單元之間通過球面接觸形成一個(gè)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)的偏轉(zhuǎn)由驅(qū)動(dòng)絲收放變化來(lái)控制。機(jī)械臂由兩組驅(qū)動(dòng)絲控制其運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)絲均勻分布在同一圓周上，一組驅(qū)動(dòng)絲收放可控制機(jī)械臂在平面內(nèi)的正向和反向彎曲，兩組驅(qū)動(dòng)絲同時(shí)收放可實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂在XY平面內(nèi)任意一個(gè)方向的彎曲運(yùn)動(dòng)。

機(jī)械臂最大直徑為20 mm，末端可固定小型手術(shù)器械，通過控制機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)能夠?qū)崿F(xiàn)手術(shù)器械在擁擠復(fù)雜人體環(huán)境下的安全定位。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

運(yùn)動(dòng)學(xué)模型旨在建立起驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度與連續(xù)體機(jī)械臂末端位置之間的相互映射關(guān)系。首先，筆者建立了驅(qū)動(dòng)空間、形態(tài)空間和工作空間，驅(qū)動(dòng)空間包含驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度，形態(tài)空間包含機(jī)械臂彎曲角度和彎曲方向，工作空間包含機(jī)械臂末端位置。

正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射建立過程均分兩步進(jìn)行，正運(yùn)動(dòng)學(xué)映射建立順序?yàn)椤膀?qū)動(dòng)空間—形態(tài)空間—工作空間”，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射建立順序則與此相反。

2.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

連續(xù)體機(jī)械臂關(guān)節(jié)是由兩個(gè)相鄰單元通過球面接觸構(gòu)成，連續(xù)體機(jī)械臂關(guān)節(jié)參數(shù)如圖2所示。

圖2 連續(xù)體機(jī)械臂關(guān)節(jié)參數(shù)

由相似原理可知：

(1)

(2)

式中：D—單元的最大直徑；d—驅(qū)動(dòng)絲均勻分布的圓周直徑；H，H0—單元內(nèi)驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度和單元高度；Hb，db—單元的倒角尺寸；h，h0—關(guān)節(jié)無(wú)偏轉(zhuǎn)時(shí)兩個(gè)單元之間的驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度和間距。

當(dāng)關(guān)節(jié)在驅(qū)動(dòng)絲平面內(nèi)偏轉(zhuǎn)θ角度時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可推出：

(3)

式中：hl，hr—兩個(gè)單元間成中心對(duì)稱的兩根驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度。

假設(shè)連續(xù)體機(jī)械臂具有N個(gè)關(guān)節(jié)的，根據(jù)分段常曲率假設(shè)，每個(gè)關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角度相等，均為θ，則可得到：

(4)

式中：Ll，Lr—機(jī)械臂內(nèi)一組驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度；HB，HE—機(jī)械臂基座和末端單元高度；C—簡(jiǎn)化變量，C=NH0+HB+HE。

由式(3，4)可推出：

(5)

關(guān)節(jié)的偏轉(zhuǎn)導(dǎo)致機(jī)械臂的彎曲運(yùn)動(dòng)，機(jī)械臂彎曲角度Θ可由下式得到：

Θ=Nθ

(6)

關(guān)節(jié)彎曲角度存在最大值，該值由關(guān)節(jié)的單元自身參數(shù)決定，可通過下式進(jìn)行計(jì)算：

(7)

連續(xù)體機(jī)械臂通過兩組驅(qū)動(dòng)絲控制其彎曲運(yùn)動(dòng)，其截面如圖3所示。

圖3 連續(xù)體機(jī)械臂截面P1，P2，P3，P4—兩組驅(qū)動(dòng)絲位置；在虛軸X′上的等效點(diǎn)

假設(shè)機(jī)械臂沿與X軸夾角為Φ的方向彎曲，則機(jī)械臂內(nèi)兩組驅(qū)動(dòng)絲的長(zhǎng)度可由下式計(jì)算得到：

(8)

由公式(8)可推出Φ和Θ的計(jì)算公式：

(9)

(10)

至此，驅(qū)動(dòng)空間到形態(tài)空間映射關(guān)系求解完畢。形態(tài)空間到工作空間的映射可通過D-H法建立。

連續(xù)體機(jī)械臂D-H坐標(biāo)系如圖4所示。

圖4 連續(xù)體機(jī)械臂D-H坐標(biāo)系

D-H坐標(biāo)系包含基座坐標(biāo)系{B}、末端坐標(biāo)系{E}和0～N號(hào)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系。

假設(shè)每個(gè)關(guān)節(jié)的偏轉(zhuǎn)角度為θ，彎曲方向?yàn)棣?，第i個(gè)關(guān)節(jié)的D-H參數(shù)如表1所示。

表1 第i個(gè)關(guān)節(jié)的D-H參數(shù)

根據(jù)所建立的D-H坐標(biāo)系，可列出第i-1號(hào)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系變換到第i號(hào)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的D-H參數(shù)。將以上運(yùn)動(dòng)序列的齊次變換矩陣依次相乘，可得到兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣：

i-1Ti=

(11)

式中：Sθ，Cθ，SΦ，CΦ—簡(jiǎn)化變量，Sθ=sinθ，Cθ=cosθ，SΦ=sinΦ，CΦ=cosΦ。

對(duì)連續(xù)體機(jī)械臂N+3個(gè)坐標(biāo)系變換運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t，即可得到{B}與{E}之間的齊次變換矩陣：

(12)

(13)

機(jī)械臂末端位置可用P=(x,y,z)T表示，其中：x,y,z—表征末端位置的笛卡爾坐標(biāo)系三維坐標(biāo)，并且有：

(14)

至此，形態(tài)空間到工作空間的映射關(guān)系求解完畢，連續(xù)體機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立完成，得到了機(jī)械臂末端位置的解析解；給定驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度，即可求解出連續(xù)體機(jī)械臂末端位置。

2.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射旨在求解機(jī)械臂末端位置到驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度的映射關(guān)系，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射建立過程與正運(yùn)動(dòng)學(xué)映射相反，因此，首先要求解工作空間到形態(tài)空間逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射關(guān)系。

工作空間到形態(tài)空間映射如圖5所示。

圖5 工作空間到形態(tài)空間映射

(15)

(16)

(17)

把式(16)代入式(17)，經(jīng)化簡(jiǎn)可得到：

(18)

式中：C0—簡(jiǎn)化變量,C0=HE-HB-H。

式(18)共有一個(gè)實(shí)數(shù)解和兩個(gè)非實(shí)數(shù)解，舍去其非實(shí)數(shù)解，即可得到連續(xù)體機(jī)械臂彎曲角度Θ的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算公式：

(19)

至此，工作空間到形態(tài)空間的映射關(guān)系求解完畢，形態(tài)空間到驅(qū)動(dòng)空間的映射關(guān)系已由式(8)建立。連續(xù)體機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立完成，得到了如式(8，15，19)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析解；給定末端位置，即可求解所需驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)組成如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)組成

該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要由連續(xù)體機(jī)械臂、舵機(jī)、控制器、上位機(jī)和Hikvision相機(jī)組成。

圖6中，右下角為實(shí)驗(yàn)所采用的連續(xù)體機(jī)械臂；材料為DSM樹脂，主體長(zhǎng)度為85 mm。

連續(xù)體機(jī)械臂設(shè)計(jì)參數(shù)如表2所示。

表2 連續(xù)體機(jī)械臂設(shè)計(jì)參數(shù)

為方便測(cè)量機(jī)械臂末端位置坐標(biāo)，機(jī)械臂末端固定了一個(gè)直徑10 mm的白色透光小球。驅(qū)動(dòng)絲采用超軟鋼絲，直徑為0.5 mm，一端固定在機(jī)械臂末端，另一端固定在繞線盤上，每個(gè)繞線盤上固定一根驅(qū)動(dòng)絲，實(shí)驗(yàn)中由舵機(jī)帶動(dòng)繞線盤轉(zhuǎn)動(dòng)定量改變驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度。利用Hikvision相機(jī)測(cè)量機(jī)械臂末端位置坐標(biāo)，實(shí)驗(yàn)前已對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，精度為±0.1 mm。

為使連續(xù)體機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)更符合分段常曲率假設(shè)，實(shí)驗(yàn)中使用潤(rùn)滑脂對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)進(jìn)行了潤(rùn)滑。實(shí)驗(yàn)過程中，依次改變驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度，使末端小球球心到達(dá)理論點(diǎn)附近，然后利用相機(jī)測(cè)量末端位置坐標(biāo)。

實(shí)驗(yàn)誤差絕對(duì)值如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)誤差絕對(duì)值

圖7中，方形標(biāo)記、星形標(biāo)記、圓形標(biāo)記和菱形標(biāo)記分別表示距離誤差、X軸方向誤差、Y軸方向誤差、Z軸方向誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，位置平均誤差小于2.56 mm，并且均方根誤差最大不超過1.18 mm，分別占機(jī)械臂總長(zhǎng)度2.57%和1.18%。

實(shí)驗(yàn)誤差主要來(lái)自于以下原因：(1)由于機(jī)械臂的制造誤差使得機(jī)械臂的實(shí)際運(yùn)動(dòng)不滿足分段常曲率假設(shè)；(2)實(shí)驗(yàn)裝置剛度不足導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)絲實(shí)際變化長(zhǎng)度與理論計(jì)算值不符；(3)相機(jī)測(cè)量誤差。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了一種絲驅(qū)動(dòng)連續(xù)體機(jī)械臂，該連續(xù)體機(jī)械臂具有兩個(gè)彎曲自由度，能實(shí)現(xiàn)較大的彎曲變形；基于分段常曲率假設(shè)，通過將正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射過程分別分成兩步進(jìn)行，建立了驅(qū)動(dòng)絲長(zhǎng)度、機(jī)械臂彎曲方向和彎曲角度與機(jī)械臂末端位置三者之間的相互映射關(guān)系；并結(jié)合D-H法和幾何分析法，建立了連續(xù)體機(jī)械臂正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)出了正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析公式。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，平均實(shí)驗(yàn)誤差不超過2.56 mm，約為機(jī)械臂總長(zhǎng)度的2.57%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出運(yùn)動(dòng)學(xué)模型具有有效性，并可應(yīng)用于類似的連續(xù)體機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。但由于樹脂材料加工的局限性，導(dǎo)致機(jī)械臂結(jié)構(gòu)尺寸和關(guān)節(jié)間摩擦力較大，降低了機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)精度。

下一步筆者將通過更換金屬材料以減小機(jī)械臂尺寸和關(guān)節(jié)間摩擦力，并尋求建立更加精確的運(yùn)動(dòng)估計(jì)模型，以提高機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)控制精度。