圖形中的一元二次方程

何君青

方程是初中數學“數與代數”中重要的一部分內容，蘇科版九年級教材的第一章主要研究方程中的一元二次方程。近幾年來，各地中考普遍從不同角度對一元二次方程的知識進行比較全面、系統的考查，大部分試題通過直接考查一元二次方程的意義與解法，突出對基礎知識與基本技能的考查;通過設置現實問題情境，考查同學們列一元二次方程解決實際問題的能力，突出對數學建模和數學應用的考查;通過設置綜合性問題，考查同學們對一元二次方程的靈活運用，突出對方程思想的考查。下面就以一元二次方程與圖形結合的問題為例進行剖析，以期對同學們一元二次方程的學習有所幫助。

一、圖形構成與一元二次方程

各地普遍采用設置符合同學們認知的實際問題情境的方式，考查列方程解決實際問題的能力。特別突出的是，部分試題注重利用方程的結果，對實際問題作出判斷與預測，或對實際問題設計實施方案等方式，強化對數學應用的考查。

例1 用一條長20cm的繩子能否圍成一個面積為30cm²的矩形？如能，說明圍法;如果不能，說明理由。

解：設矩形的長為xcm，則寬為（10-x）cm。

根據題意，得x（10-x）=30，

即x²-10x+30=0。

因為Δ=b²-4ac=10²-4×30=-20<0，所以此一元二次方程無實數根。

答：用一條長20cm的繩子不能圍成一個面積為30cm²的矩形。

【點評】題目在考查列方程的同時，更關注對實際問題理解能力的考查。若所求幾何圖形能構成，則能算出具體的值;若不能構成，則找不到符合條件的值，或無實數根，或算出的根不在實際范圍內。……