根的判別式在解題中的應用

張田田

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b²-4ac在初中數學學習中占有非常重要的地位，它是解決一元二次方程相關問題的重要工具，也是中考的必考知識點。利用根的判別式可以判斷一元二次方程的根的情況，在解決方程、函數、不等式等問題時也有廣泛的應用。下面就根的判別式在解題中的應用舉例說明，以期對同學們的學習有所幫助。

蘇科版數學教材九年級上冊“一元二次方程”第20頁的習題中有這樣一題：

例1 k取什么值時，關于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0有兩個相等的實數根？有兩個不相等的實數根？沒有實數根？

【分析】本題主要考查的是一元二次方程的根的判別式的知識。一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情況可以由根的判別式b²-4ac的符號來判定。當Δ=b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根;當Δ=b²-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根;當Δ=b²-4ac<0時，方程沒有實數根。故先用含k的代數式表示b²-4ac，再分別用b²-4ac=0，b²-4ac>0，b²-4ac<0求出相應的k的取值范圍。

變式1 （2020·江蘇南京）關于x的方程（x-1）（x+2）=p²（p為常數）的根的情況，下列結論中正確的是（ ）。

A.兩個正根

B.兩個負根

C.一個正根，一個負根

D.無實數根

【分析】本題考查一元二次方程的根的判別式和根與系數的關系兩個知識點。先把方程（x-1）（x+2）=p²化為一般式，根據根的判別式A=b²-4ac的符號來判斷方程根的個數，再根據根與系數的關系x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a來判斷根的正負性，即可求解。

解：將原方程化為x²+x-2-p²=0，

則Δ=b²-4ac=1+8+4p²=9+4p²0，可知方程有兩個不相等的實數根。

因為x¹·x²=c/a=-2-p²<0，

所以此方程有一個正根，一個負根，故選C。

變式2 已知關于x的方程mx²+（3m-2）x+2m-2=0。

（1）求證：方程總有實數根;

（2）若方程有兩個整數根，求整數m的值。

【分析】本題考查含字母系數方程的根的情況。（1……