高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化策略研究

祁 蘭，馬 崛，張 媛

(榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 榆林 719000)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是高校眾多專業(yè)中最為重要的基礎(chǔ)課程之一，其廣泛而深入地應(yīng)用于計算機(jī)、人工智能、信息管理、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、醫(yī)學(xué)等眾多領(lǐng)域，已成為大學(xué)生知識和能力結(jié)構(gòu)的重要組成部分。通過高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握微積分的基本知識、計算方法以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他后續(xù)課程和相關(guān)專業(yè)基礎(chǔ)課程奠定必要的現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。然而，許多教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中以講授數(shù)學(xué)理論知識和應(yīng)用為主，往往忽略數(shù)學(xué)思想、精神及人文等內(nèi)容的傳授。大多數(shù)學(xué)生只是膚淺地了解高等數(shù)學(xué)的思想、精神，對數(shù)學(xué)的宏觀認(rèn)識和總體把握較差，學(xué)生只是為了應(yīng)付考試，通常以做各種典型的類型題的方式去學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)，這非常不利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神和創(chuàng)造性思維，甚至還會影響學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。因此，如何將數(shù)學(xué)文化[1-4]融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，真正地實現(xiàn)該學(xué)科應(yīng)有的教育目標(biāo)，發(fā)揮其應(yīng)有的教育功能，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著深遠(yuǎn)的意義。

1 教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)史，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)史[5-6]是研究數(shù)學(xué)發(fā)展歷史和規(guī)律的一門學(xué)科，不僅包含著許多有趣的數(shù)學(xué)史料，同時也包含著許多重要的數(shù)學(xué)思想及方法，不了解數(shù)學(xué)史就不可能全面了解數(shù)學(xué)科學(xué)。高等數(shù)學(xué)中涉及的概念、定理比較多，如果結(jié)合教學(xué)內(nèi)容在教學(xué)過程中適當(dāng)融入滲透一些數(shù)學(xué)史的教育，并穿插相關(guān)概念、定理的發(fā)展歷史，介紹一些數(shù)學(xué)家軼事，包括一些數(shù)學(xué)定理證明之路的艱難，不僅可以活躍課堂氣氛，陶冶學(xué)生思想情操，使枯燥乏味的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得生動有趣，還可使學(xué)生更全面地了解高等數(shù)學(xué)的發(fā)展和演變過程，有助于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如，無窮小概念的講解，可以先講一講故事。關(guān)于無窮小，牛頓前后給出了三個解釋，1669年牛頓稱無窮小是一個常量，而在1671年，他又稱無窮小是一個趨近于零的變量，1676年則稱無窮小是“兩個正在消逝量的最終比”。而萊布尼茲用與無窮小量成比例的有限量的差分來試圖解釋無窮小量，然而，最終這兩位微積分的靈魂人物都沒有找到無窮小量合理的定義。因此，很多數(shù)學(xué)家和神學(xué)家紛紛吐槽微積分理論的正確性。數(shù)學(xué)家羅爾曾說“微積分是巧妙的謬論的匯集”；英國大主教貝克萊說“流數(shù)(導(dǎo)數(shù))是消失了的量的鬼魂”，其稱微積分“依靠雙重錯誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果”。而這些關(guān)于微積分理論的基礎(chǔ)——無窮小的質(zhì)疑，直接搖撼了微積分的合理性，這也就是所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。直到19世紀(jì)，通過波爾查諾、阿貝爾、柯西的貢獻(xiàn)，到威爾斯特拉斯給出現(xiàn)在的極限的定義(函數(shù)極限的定義)，并把微分、積分直接嚴(yán)格定義在極限的基礎(chǔ)上，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)才得以解決。

高等數(shù)學(xué)中的每一個數(shù)學(xué)概念、命題、公式、法則，其背后都有一部活生生的歷史，在教學(xué)過程中，可以介紹一些偉大的數(shù)學(xué)家例如牛頓、萊布尼茲、達(dá)朗貝耳、柯西、歐拉等生平事跡和對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，不僅可使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家的故事，還可使其從中學(xué)到數(shù)學(xué)家的思想、處理問題解決問題的方法、人品和處世態(tài)度，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。

2 教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中處理問題的基本觀點，是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)概括。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識相比，知識的有效性是短暫的，思想方法的有效性卻是長期的，能夠使人受益終身。數(shù)學(xué)的思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂[7]。古人云：“授人以魚，不如授之以漁。”因此，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維水平，使其真正懂得數(shù)學(xué)的價值，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要揭示隱含于知識中的深刻的數(shù)學(xué)思想方法，例如函數(shù)思想、方程思想、極限思想、數(shù)學(xué)結(jié)合思想、化歸思想、類比思想及建模思想，等等。其中，類比的思想方法是解決高等數(shù)學(xué)問題的一種基本的常用思想方法，也就是根據(jù)某一事物的某些已知特征來推測另一事物也存在相應(yīng)特征的思維活動。教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生由已熟悉的知識，通過類比的方法來引申出新的概念、新的理論，學(xué)生不但容易接受、理解、掌握所學(xué)知識，更重要的是有利于培養(yǎng)其類比思維和創(chuàng)造能力。

例如，高等數(shù)學(xué)中一元函數(shù)的微積分和多元函數(shù)的微積分，它們在基本概念、數(shù)學(xué)思想和解題技巧等方面都有許多相似性，在教學(xué)過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生借助于一元函數(shù)的微積分的相關(guān)定義、性質(zhì)、數(shù)學(xué)思想以及解題技巧，來類比學(xué)習(xí)理解相應(yīng)的多元函數(shù)微積分的相關(guān)定義、性質(zhì)、數(shù)學(xué)思想和解題技巧，這樣學(xué)生學(xué)起來就會倍感輕松。又如在微分中值定理這部分知識的教學(xué)中，如果利用類比方法引導(dǎo)學(xué)生，將羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的條件、結(jié)論、幾何意義進(jìn)行比較，對培養(yǎng)學(xué)生的類比思維將大有裨益，同時也會取得很好的教學(xué)效果。

3 教學(xué)過程中融入審美思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的審美能力

數(shù)學(xué)文化是一門自身具有獨(dú)特美學(xué)特征功能與結(jié)構(gòu)的美學(xué)分支。數(shù)學(xué)美是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心。我國著名數(shù)學(xué)家徐利治先生指出：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)，具有一般語言文學(xué)和藝術(shù)所共有的美的特點，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等都是美的具體內(nèi)容。”[8]這是對數(shù)學(xué)美的內(nèi)容和形式的精辟論述。

同時，高等數(shù)學(xué)龐大的知識網(wǎng)絡(luò)也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的和諧美。例如，微積分基本定理使得微分的局部性質(zhì)和積分的整體性質(zhì)得到了統(tǒng)一。積分是微分的逆運(yùn)算，因此基本積分公式可由基本導(dǎo)數(shù)公式直接推出，對比積分和微分公式，其顯示出漂亮的對稱性、有序性和統(tǒng)一性。微分中值定理與積分中值定理，進(jìn)一步顯示出具有和諧美的微積分。微分中值定理是微分理論的重要組成部分，其中羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理之間的關(guān)系充分表達(dá)了微積分定理之間的和諧與統(tǒng)一。這些和諧的公式使我們感覺到數(shù)學(xué)的美，而只有理解和掌握高等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，才能體會到這種數(shù)學(xué)美，同時激起學(xué)生從審美的角度進(jìn)行探索性思維，提高科學(xué)審美能力。

4 教學(xué)過程中融入哲學(xué)思想，有利于學(xué)生樹立正確的世界觀

數(shù)學(xué)與哲學(xué)密切聯(lián)系，相輔相成。捷克數(shù)學(xué)家波爾達(dá)斯曾深刻地說明了兩者的關(guān)系：“沒有哲學(xué)，難以得知數(shù)學(xué)的深度，當(dāng)然沒有數(shù)學(xué)也難以探知哲學(xué)的深度，兩者相互依存，猶如一對孿生兄弟。如果既沒有數(shù)學(xué)又無哲學(xué)，則就不能認(rèn)識任何事物。”[9]因此在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能站在哲學(xué)的高度，揭示高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻內(nèi)涵，必然會大大提升學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解深度和對其本質(zhì)的把握，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時對培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維能力具有十分重要意義。

人們認(rèn)識事物的辯證法原理，即從一般到特殊、具體到抽象、量變到質(zhì)變，這在高等數(shù)學(xué)這門課程的學(xué)習(xí)中得到了充分的體現(xiàn)。講解高等數(shù)學(xué)是由簡單到復(fù)雜，具體到抽象，首先介紹一元函數(shù)的微積分，然后討論二元函數(shù)、三元函數(shù)以及推廣到一般的n元函數(shù)。若能夠透徹掌握低維的情形，則高維的情形也就迎刃而解了。又比如從形式上看，牛頓—萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是完全不同的積分，但若把它們上升到外微分的高度來看，它們的實質(zhì)是一樣的，反映的都是展布于一定幾何形式的積分與沿著幾何形的邊界的積分相等的問題，而僅僅是幾何形式不同所對應(yīng)的表達(dá)形式不同而已。

高等數(shù)學(xué)的概念、原理之間既互相滲透又互相制約，是事物普遍聯(lián)系規(guī)律的反映。例如，極限概念包含著十分深刻、豐富的辯證關(guān)系，特別是變與不變、近似與精確、有限與無限等，而且極限是整個高等數(shù)學(xué)大廈的基石，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、偏導(dǎo)數(shù)、重積分、曲線積分、曲面積分和無窮級數(shù)等都是建立在極限定義的基礎(chǔ)上。又如定積分、重積分、線積分和面積分的概念，都是從不同的具體模型抽象概括出來的，但它們之間卻有著本質(zhì)的聯(lián)系，即都是“分割，近似代替，求和，取極限”的數(shù)學(xué)思想方法，其概念的結(jié)構(gòu)是類似的。

5 教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐活動[10]。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)問題解決的一種重要形式，其可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題的能力，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力[11]。數(shù)學(xué)建模的思想在高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容里處處有所體現(xiàn)，數(shù)學(xué)模型思想和方法都無一例外地滲透于極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和定積分等概念的產(chǎn)生歷史。課堂教學(xué)無疑是研究性教學(xué)的主陣地，但除此之外還包括創(chuàng)新實踐性教學(xué)環(huán)節(jié)、指導(dǎo)學(xué)生課外自主學(xué)習(xí)和組織開展各類科技創(chuàng)新活動。所以，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，使學(xué)生能夠在課堂上接觸一些簡單的實際應(yīng)用問題，從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力，有利于提高其研究性學(xué)習(xí)能力。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想。數(shù)學(xué)理論是由實際需要而產(chǎn)生的，也是其他定理和應(yīng)用的前提。因此在教學(xué)中應(yīng)重視從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生從模型中切實體會到數(shù)學(xué)概念是因有用而產(chǎn)生的，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如，講解定積分概念時，可以運(yùn)用求曲邊梯形面積作為原型，讓學(xué)生體會在一定條件下“直”與“曲”相互轉(zhuǎn)化的思想以及“化整為零、取近似、聚整為零、求極限”的積分思想。通過模型來學(xué)習(xí)概念，加強(qiáng)數(shù)學(xué)來源于生活實踐的思想教育。更重要的是讓學(xué)生看到問題的提出背景，進(jìn)而對數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生興趣。同時應(yīng)重視傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂中重要方法的應(yīng)用，例如，利用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及函數(shù)曲線的曲率在解決實際問題中的應(yīng)用。

將數(shù)學(xué)文化以“潤物細(xì)無聲”的方式適時適當(dāng)?shù)厝谌霛B透在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，挖掘隱藏在高等數(shù)學(xué)背后的知識發(fā)展脈絡(luò)和大量鮮為人知的史料，使學(xué)生上升到文化層面來理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而更加喜歡和熱愛數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)文化的潛移默化熏陶下，使學(xué)生不僅能輕松掌握高等數(shù)學(xué)的知識體系，同時還能學(xué)到終身受益的數(shù)學(xué)精神、思想和方法。