基于相關性分析的高精度相位求取方法

章程 王景霖 徐麗清 沈勇 /1 中國航空工業集團公司上海航空測控技術研究所 2 故障診斷與健康管理技術航空科技重點實驗室

0 引言

旋翼平衡對于直升機非常重要，旋翼的不平衡會加劇直升機的振動程度，造成飛行員的不適或直升機機械部件的磨損加劇[1-2]。相位是旋翼動平衡調整的兩個關鍵參數之一，另外一個為調整量。通過相位和調整量可以得出旋翼系統的不平衡點，通過矢量分解和一定規則可以得到調整建議[3]。相位的不準確或者不精確會影響旋翼動平衡調整效果，嚴重時導致越調越差，甚至完全錯誤[4]。

為了獲取高精度的相位信息，本文首先分析現有常用的離散傅里葉求取相位在速度和精度上的局限性，針對這些局限，從信號相位求取原理出發，研究出一種快速、高精度的基于信號相關性的相位求取方法，最后通過理論分析和舉例說明驗證本文提取方法的有效 性。

1 旋翼平衡調整分析

直升機旋翼由幾片槳葉構成，由于存在槳葉規格不完全一致、裝配誤差等原因，在旋翼旋轉平面上會有一個不平衡質心，如果這個不平衡質心較大或者偏離旋翼平面中心較遠，將影響旋翼的工作性能，甚至造成旋翼無法工作。

由于不平衡質心偏離旋翼旋轉中心，在旋翼的轉動過程中，質心產生一個離心力，通過旋翼結構帶動整個機體振動，振動過大時需要進行旋翼動平衡調整。通常是在質心關于軸心對稱位置進行配重，以減低旋翼引起的振動，而配重的位置和大小通過振動信號的幅值和相位換算得到。通常的做法是在直升機旋翼附近位置安裝振動加速度（速度）傳感器、轉速傳感器，通過轉速信號來截取振動信號，求取振動信號的相位和幅值。

為簡要說明，可以通過振動加速度信號獲取旋翼動平衡調整建議，需對旋翼轉動進行受力分析，以一圓盤作為直升機旋翼轉動平面的簡化模型，分析不平衡狀態下的振動信號的特點，如圖1所示。在圓盤某個位置貼上反光條或磁片作為起始位置，在水平方向安裝振動加速度傳感器、光電或磁電轉速傳感器。

隨著圓盤的轉動，不平衡質心會產生一個離心力，使圓盤的軸心軌跡產生周期性的變化。為了更好地進行說明，假設圓盤的恒定轉速為ω，圓盤/直升機整體質量為M1，不平衡質心為A，質量為m1，則質心A 在旋翼轉動時產生的離心力F 為：

離心力F 帶動整個直升機的振動，假設直升機整機的加速度為a，即加速度傳感器采集的加速度a，則有

圖1 圓盤不平衡狀態受力分析

隨著圓盤的轉動，加速度a 呈現周期性變化，信號如圖2 所示。然而在直升機動平衡調整測試過程中，實際采集的振動信號與轉速信號可能不同步，旋翼轉動平面（圓盤）不平衡質心轉動產生的振動信號（能量）從振動源傳遞到傳感器上可能需要一定的時間，這些都會導致信號延時，表現為一定的初始相位。雖然該相位和本文提到的相位求解有關，但由于該初始相位隨著振動加速度傳感器、轉速傳感器的安裝位置的確定而確定，不會隨著旋翼轉動而變化，對本文求解相位影響很小，可以暫不考慮。

2 傅里葉變換求取相位的局限性

信號的相位通常是通過傅里葉變換求得。信號經過傅里葉變換后，通過聯立對應的余弦系數（實部）與正弦系數（虛部）可以得到相位。由于計算機只能處理離散形式的數據，相位是通過離散傅里葉變換得到的。假設存在一個序列x（n），其離散時間傅里葉變換（DTFT）定義為：

逆離散時間傅里葉變換（IDTFT）定義為：

兩組患者術前的空腹血糖值、餐后2 h血糖值及糖化血紅蛋白值均相當，均差異無統計學意義（P>0.05）；兩組患者術后的空腹血糖值、餐后2 h血糖值及糖化血紅蛋白值均有顯著改善，且改善程度顯著優于對照組，均差異有統計學意義（P<0.05）。見表1。

自然指數的冪級數ejw可以利用歐拉公式轉化為正弦形式，歐拉公式如下：

式（6）的矩陣形式為：

從式（7）可以看出，傅里葉變換是以序列x（n）的長度作為一個周期（基頻），然后構造與序列相同點數的1 倍頻、2 倍頻、…、K 倍頻正弦函數基（實部為余弦，虛部為正弦），通過這些正弦函數基和序列相乘得出相關性系數，如圖3 所示。將旋翼旋轉頻率（如w0）代入到式（7）可以得出此頻率點上的實部與虛部，繼而得到此點的幅值與相位φ0。

傅里葉變換求相位，首先會截取一定長度的采樣數據作為序列x（n）（如210=1024 個點），但不能確保這段序列剛好是整數個周期（如圖3 中的非整數周期）數據，因此對這種非整數周期數據做傅里葉變換求取相位是不準確的。假設存在一個采樣率為100Hz、10個周期的余弦信號cos（x+30/180π），即此信號有30°的初始相位（見圖4），然后對此信號進行截取，截取兩個整數周期之間的數據點數，依次做傅里葉變換求取相位，驗證由非整數周期數據做傅里葉變換求相位的不準確 性。

圖2 圓盤轉動狀態下的振動加速度信號

圖3 整數周期與非整數周期數據傅里葉變換

依次取5 個周期（500 點）～6 個周期（600 點）之間的數據，使用快速傅里葉變換（FFT）求取相位，得到的相位如圖5 所示。從圖5 可以看出，取整數周期數據（500 點、600 點）做FFT 求取的相位為30°，為正確的相位，但取500 和600 之間非整數周期做FFT 求取相位會得到不同的相位值。以上分析說明，對非整數個周期的信號做傅里葉變換求取相位存在缺陷，將得到不準確的相位。另外，對有限個數據點做傅里葉變換只會得到一定的相位分辨率，最終求得的相位精度 有限。

在旋翼動平衡調整中，某些設備通常是采用FFT 求取相位的。由于旋翼轉速不穩定，每次取的數據點數并不能保證都是相同的周期數，導致用FFT 求取相位存在一定的誤差。因此，在旋翼動平衡調整中，即使是對同一狀態試驗，用FFT 求相位也會得到不一樣的 結果。

圖4 采樣率為100Hz、10個周期余弦信號

3 基于相關性的高精度相位求取

3.1 高精度相位求取原理

傅里葉變換原本就是求信號與余弦、正弦函數集合的相關性系數，為此相位求取可以通過與余弦、正弦函數做相關性分析得到。另外，由于直升機旋翼等旋轉部件的位移、速度、加速度信號是周期性的，這些信號的相位可以通過與標準正弦信號做相關性計算得到。通過平移標準正弦信號與被測信號做乘積，即兩個信號的卷積，可以得到周期性的相關性系數，當相關性系數最大時，標準信號的相位即為被測信號的相位，如圖6 所示。

圖6 通過相關性系數求取相位

圖7 高精度相位求取示意圖

3.2 基于相關性的高精度相位求取過程

在傅里葉變換求相位過程中計算所有頻率點的值會占用一定的計算時間，但旋翼平衡調整中只需要求取旋翼轉動頻率點的相位，這導致傅里葉變換大部分的計算結果是用不到的。傅里葉變換是求信號和余弦信號、正弦信號的相關性系數。為此，針對旋翼動平衡調整中相位的計算問題，可以通過構建一組特別的余弦、正弦信號，先通過與余弦、正弦信號求相關性系數取得初步相位，然后微調具有初步相位的正弦函數的平移步長，求最大相關性以獲取高精度的相位，具體步驟如下。

1）截取信號的整數個周期的數據：在旋翼平衡調整過程中，先通過轉速信號換算出旋翼轉速ω，并通過轉速脈沖數據截取旋翼M 個整數旋轉周期、包含N 個數據點的振動加速度信號，通過異常點剔除、濾波等預處理，得到信號為xInt。

2）求取相關性系數：構造M 個周期的包含N 個數據點的零相位余弦信號xcos與正弦信號xsin，通過式（6）求xInt與xcos、xsin的相關性系數。

3）初步相位求取：通過反正切函數計算，并根據相關系數［Corrcos，Corrsin］所在的象限，可以得到在0°～ 360°的初步相位值φ0。

根據［Corrcos，Corrsin］所在象限得到

4）高精度相位求取：構建具有初步相位φ0的正弦信號sin（x+φ0），在一個正負相位分辨之間，逐步平移此正弦信號，求與振動加速度信號xInt的相關性系數，假設在sin（x+φ0+mΔθ）時取得最大相關性系數，則此刻正弦信號的相位φ0+mΔθ 為該被測信號的相位。

4 相位精度分析與驗證

受計算速度的限制，傅里葉變換通常只取有限個數據點，只能得到一定的頻譜分辨率和一定的相位分辨率。例如，某信號為y=sin（x+30.1°），一個周期抽樣1000 個點，則一個周期360°對應1000 個點，相位分辨率為360/1000=0.36°，經過FFT 后，求取相位為30.24°，而不是30.1°，具體原因為：

1）相位分辨率：360/1000=0.36°；

2）具體點數：30.1/0.36= 83.6111，FFT 變換后只能取最接近的整數為84；

3）求取的相位：84×0.36= 30.24°。

使用傅里葉變換（如FFT）求相位的方法得到的相位分辨率為360°/ 1000=0.36°，如采用本文提出高精度相關性求相位方法，當Δθ 取360°/ 10000=0.036°，求得相位的精確度是FFT方法的10 倍。

特別是當一個周期內數據點不多時，高精度相關性求相位方法相比于FFT 求相位在相位精度的提升上將會非常明顯。例如，一個周期只有83 個點，這時FFT 的相位分辨率為360°/ 83=4.3373°，但利用高精度相關性求相位方法可以取Δθ=360°/1000=0.036°，相位求解精度提高了12 倍多。這說明本文提出的方法能夠顯著提高低采樣率情況下的相位精度。

5 總結

處于工作時的旋轉部件如直升機旋翼通常轉速不恒定，即使轉速恒定也不能保證為做FFT 而選取的數據剛好為整數個旋轉周期。對非整數周期數據做離散傅里葉變換求取相位存在不確定性，同時受數據點數的限制，求取的相位精度有限。為此，本文從信號求相位原理出發，根據轉速脈沖取整數個周期的信號，與同樣整數個周期的標準余弦信號、余弦信號做相關性求取初步相位，構造整數個周期、具有初步相位的正弦函數，在正負一個相位分辨率之間，微平移該正弦信號與被測信號求最大相關性系數，從而得到高精度相位。通過分析和案例驗證，本文提出的方法具有兩點優勢：1）不需要FFT，只需要和正弦、余弦信號求一次相關性系數就可以得到用FFT 求得的初步相位，計算量大大降低；2）根據需要，設計微平移步數長度，可以得到高精度的相 位。