基于改進(jìn)無偏灰色模型的礦山地表沉降預(yù)測研究

權(quán)文斌，雷雨龍，尚 軒

(陜西陜煤黃陵礦業(yè)有限公司一號煤礦，陜西 延安 727307)

0 引言

我國是一個富煤貧油的國家，目前仍然將煤炭作為最主要的消耗性能源，為國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供動力，而隨著煤炭資源枯竭以及深部開采煤炭資源技術(shù)不太成熟，更好地解決“三下”開采以及薄煤層開采方面所面臨的問題是未來煤炭發(fā)展的主要目標(biāo)之一。同時地下煤炭資源的開采會使得處于采空區(qū)上方的建筑物和地表產(chǎn)生不均勻沉降，因此，準(zhǔn)確科學(xué)的預(yù)測礦山地表沉降變化趨勢受到越來越多的關(guān)注。

在各種預(yù)測模型中，無偏灰色模型具有消除傳統(tǒng)灰色模型固有誤差的特性，計算所需數(shù)據(jù)量少，計算便捷，適合中長期的預(yù)測。由于無偏灰色模型仍然是一種指數(shù)函數(shù)，解決函數(shù)微分方程時就會要求原始數(shù)據(jù)序列的波動不能過大，否則會使預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果誤差增大，不能正確反映預(yù)測的效果。文中利用3次樣條插值法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，增加一定的數(shù)據(jù)量，使數(shù)據(jù)序列更加平滑，繼承無偏灰色模型的特性，并提高了改進(jìn)無偏灰色模型的擬合預(yù)測精度。文中，作者將改進(jìn)無偏灰色模型應(yīng)用于礦山地表沉降監(jiān)測中，并與無偏灰色預(yù)測模型進(jìn)行對比分析，得出結(jié)果充分展示了改進(jìn)無偏灰色模型的優(yōu)越性。

1 無偏灰色模型

1.1 灰色系統(tǒng)理論

華中理工大學(xué)的鄧聚龍教授在20世紀(jì)80年代首次提出了灰色系統(tǒng)理論，該理論本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)方法用于解決信息不完備問題，它將控制論的觀點(diǎn)和方法延伸到復(fù)雜的大系統(tǒng)中，將自動控制于運(yùn)籌學(xué)的數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，用獨(dú)特的方法和手段研究了廣泛存在于客觀世界中具有灰色性的問題。灰色系統(tǒng)在較短的時間內(nèi)得到了快速的發(fā)展，其已廣泛應(yīng)用到社會科學(xué)以及自然科學(xué)等諸多領(lǐng)域。

灰色系統(tǒng)理論的建模是一種貧信息建模，它把一切隨機(jī)過程看做是一種灰色過程，該灰色過程是在一定范圍內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的過程。建模時對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行重新生成，將沒有規(guī)律的原始數(shù)據(jù)序列通過累加或累減處理而成為具有較強(qiáng)規(guī)律性的新數(shù)列，新數(shù)列再用微分方程來描述，解此微分方程即得到自變量與因變量的關(guān)系。總的來說，灰色系統(tǒng)理論的建模所針對的數(shù)列是生成后的數(shù)列，其對原始數(shù)據(jù)沒有大樣本的要求，只要原始數(shù)列有4個以上的數(shù)據(jù)就可通過組成變換來建立灰色模型。

1.2 建立無偏灰色模型

設(shè)有非負(fù)準(zhǔn)光滑的等間距的原始數(shù)據(jù)序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(k-1),x(0)(k)},k=1,2,…,n，無偏灰色模型的建立步驟如下

(1)

確定數(shù)據(jù)矩陣B、YN：

(2)

(3)

(4)

建立無偏灰色預(yù)測模型：

(5)

2 改進(jìn)無偏灰色模型

2.1 3次樣條插值

插值是知道部分節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的前提下，求解過這些已知點(diǎn)的曲線，根據(jù)求解的曲線函數(shù)對曲線上未知點(diǎn)位進(jìn)行預(yù)測。

樣條軟尺在術(shù)語上是指在技術(shù)制圖中，使用軟尺連接兩個相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)，以達(dá)到連接曲線光滑的效果。樣條插值是一種分段多項式插值法。數(shù)學(xué)上是指曲線光滑需要在曲線上一階導(dǎo)連續(xù)，因此，在節(jié)點(diǎn)處需要滿足一階導(dǎo)數(shù)相等。另外，為了使得曲線的曲率最小，要求曲線二階導(dǎo)連續(xù)，在節(jié)點(diǎn)處需要二階導(dǎo)相等。

3次及以上多項式可以滿足節(jié)點(diǎn)處光滑和曲率最小要求，但是次數(shù)高的曲線容易震蕩，因此，常常選用3次多項式。

2.2 建立改進(jìn)無偏灰色模型

改進(jìn)無偏灰色模型主要體現(xiàn)在：利用3次樣條插值對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)處理，增加數(shù)據(jù)量，使數(shù)據(jù)序列更加平滑，如圖1所示。

圖1 改進(jìn)無偏灰色模型流程

a

b

a

x

0

x

1

x

n

b

x

k

y

k

f

x

k

k

n

S

x

插值條件：S(xk)=yk,k=0,1,…,n;

分段條件：在小區(qū)間[xk,xk+1],(k=0,1,…,n-1)上，S(x)是3次代數(shù)多項式，即S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3；

光滑條件：S(x)∈C2[a,b]。

則稱S(x)為樣條節(jié)點(diǎn)xk上的3次樣條插值函數(shù)(Cubic Spline Interpolation)，稱求S(x)的方法為3次樣條插值方法。

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(k-1),x(0)(k)},k=1,2,…,n，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行3次樣條插值處理后的序列為S(0)={s(0)(1),s(0)(2),s(0)(3),…,s(0)(k-1),s(0)(k)}，計算表達(dá)式如下

k=1,2,…,n

(6)

若在該函數(shù)在兩端點(diǎn)處沒有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)值時，則由對應(yīng)的差商值代替。

3 礦山地表沉降預(yù)測

某礦區(qū)地表沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)共16期，具體數(shù)據(jù)如圖2所示。以圖2中第1期至第12期原始數(shù)據(jù)建立無偏灰色模型和改進(jìn)無偏灰色模型，將2種預(yù)測模型所得出的預(yù)測結(jié)果與第13期至第16期的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行精度分析比較，通過相對誤差來判斷模型的有效性。

圖2 地表沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)

3.1 建立無偏灰色模型

x(0)(k)=2.987 45e-0.000 681 49(k-1),k=1,2,…,n

3.2 建立改進(jìn)無偏灰色模型

對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行3次樣條插值處理，插值節(jié)點(diǎn)設(shè)置為每個小區(qū)間的中點(diǎn)處，即為[xk,xk+1]的中點(diǎn)xk+0.5，由于數(shù)據(jù)沒有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，則導(dǎo)數(shù)值由差商值代替。用于建立模型的原始數(shù)據(jù)共12期，經(jīng)過間隔為0.5的3次樣條插值法處理后的數(shù)據(jù)周期變?yōu)?3期，預(yù)處理后數(shù)據(jù)見表1并如圖3所示。

表1 3次樣條插值法處理后數(shù)據(jù)

圖3 3次樣條插值處理后數(shù)據(jù)

x(0)(k)=2.987 35e-0.000 337 88(k-1),k=1,2,…,n

通過無偏灰色模型和改進(jìn)無偏灰色模型對礦區(qū)地表沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的第1期至12期進(jìn)行模擬，并預(yù)測第13期至第16期的監(jiān)測數(shù)據(jù)值，2種方法的預(yù)測值如圖4所示，擬合值如圖5所示，2種預(yù)測模型的性能比較見表2。

圖4 2種預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果

圖5 2種預(yù)測模型的擬合值比較

表2 2種預(yù)測模型的性能比較

4 結(jié)論

(1)改進(jìn)無偏灰色模型比無偏灰色模型更符合礦區(qū)地表的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。

(2)經(jīng)過3次樣條插值法處理后，原始數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量增加，數(shù)據(jù)序列更加平滑，提升了無偏灰色模型的預(yù)測精度。

(3)對比兩種預(yù)測模型，改進(jìn)無偏灰色模型比無偏灰色模型的擬合預(yù)測精度高，其平均相對誤差和平均絕對誤差分別為0.003 48%、0.009 80%和0.007 86%、0.011 39%。

礦山的沉降過程受到很多方面因素的綜合影響，并且沉降的整個過程是動態(tài)緩慢的，這也使得對觀測的沉降數(shù)據(jù)分析從以前的線性分析逐漸發(fā)展到非線性分析，由靜態(tài)分析發(fā)展到動態(tài)分析，多樣化逐步成為變形分析的主要模式。為了能夠更好地反映礦山沉降趨勢，進(jìn)一步提高礦山地表沉降預(yù)測的精度，在建立模型預(yù)測趨勢時對建模的原始沉降數(shù)據(jù)要不斷更新，也是該模型需要進(jìn)一步研究改進(jìn)的地方。在預(yù)測模型方面，不同的預(yù)測針對不同的礦區(qū)地表沉降數(shù)據(jù)，預(yù)測精度都會有所不同，因此針對具體的礦區(qū)沉降數(shù)據(jù)處理時，應(yīng)采用多種模型進(jìn)行對比，從而選擇出比較好的預(yù)測模型。作者通過研究對比了不同模型預(yù)測結(jié)果的精度，結(jié)果顯示改進(jìn)無偏灰色模型能更好地預(yù)測礦山地表沉降趨勢，對于類似條件的礦區(qū)可以提供借鑒。