一種用于BDS-3接收機的分段Hermite插值方法

安云飛

(1. 中國電子科技集團公司第五十四研究所,河北 石家莊 050081;2. 衛星導航系統與裝備技術國家重點實驗室,河北 石家莊 050081)

0 引 言

隨著北斗三號衛星導航系統(BDS-3)的建設,對接收機技術提出了更高的要求,包括跟蹤衛星數、定位頻度、定位精度和測速精度等. 盡管處理器技術也在同步發展,但是在多系統多頻點同時定位或者定位頻度10 Hz及以上情況下,仍有必要在保證精度的情況下降低定位解算的運算復雜度. 每次定位解算均需獲取每顆衛星的位置、速度信息,常規方法采用廣播星歷直接計算,涉及眾多的復雜運算,耗時巨大. 國內外常采用多項式插值的方法降低衛星位置、速度運算時間,包括拉格朗日插值、牛頓插值、樣條插值和Hermite插值等.

文獻[1]最早比較了不同階數的分段Hermite插值與三次樣條插值在不同結點間距情況下,對衛星位置和速度插值精度與效率的影響. 文獻[2]提出了一種加“窗”的牛頓插值多項式,與三階Hermite插值相比提高了插值精度與結點間距,代價是多項式的階數和運算復雜度均有增加. 文獻[3]比較了幾種常見插值算法的特性,并指出拉格朗日插值運算量大,增減節點時基函數需要重新計算,而且高階時容易產生龍格現象;牛頓插值在增加結點時,只需計算一次更高階的差商,但其精度不高.

以上研究均是基于全球定位系統(GPS)或者北斗二號衛星導航系統(BDS-2),而BDS-3在衛星星歷參數、衛星軌道精度、定位精度方面均有改進,衛星位置、速度和加速度計算公式也有改變. 因此,研究多項式插值在BDS-3衛星軌道中的計算精度和效率是必要的.

本文推導了BDS-3衛星速度、加速度解算公式,同時提出一種分段Hermite插值方法. 該方法分別構造位置、速度的三次Hermite插值多項式,在運算復雜度不增加的情況下,提升了衛星速度插值精度. 所提方法公式簡單、便于編程,并采用作者單位自研接收機對所提方法插值精度、效率進行了驗證,同時對比了Hermite插值、分段三次Hermite插值和分段五次Hermite插值.

1 BDS-3衛星速度和加速度

文獻[1]給出了GPS NAV電文的衛星位置、速度和加速度計算公式;文獻[4]給出了GPS NAV電文的衛星速度公式推導過程;文獻[5]給出了GPS NAV電文和CNAV/CANV-2電文在計算衛星位置時的差別;文獻[6]給出了BDS-3 CNAV1電文的編排格式和衛星位置計算公式. 本文直接給出基于BDS-3的衛星速度和加速度計算公式,其推導過程暫不贅述.

1.1 CNAV1導航電文衛星速度計算

下面給出BDS-3 CNAV1電文中衛星速度的計算公式:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：角標′表示一階導數；式(1)～(7)中出現的電文播發參數含義如表1所示.

表1 電文播發參數含義表

式(1)～(7)中出現的非播發參數如表2所示.

表2 電文播發參數含義表

1.2 CNAV1導航電文衛星加速度計算

下面給出BDS-3 CNAV1電文中衛星加速度的計算公式:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(13)中αk和βk分別表示為:

(14)

式中，角標′和″分別表示一階導數和二階導數.

2 Hermite插值多項式

Hermite插值不但要求在結點上的函數值相等,還要求對應的導數值也相等,它是一種光滑的插值方法.

下面構造Hermite插值多項式. 設已知節點a≤x0≤x1≤x2…≤xn≤b上,yj=f(xj),mj=f'(xj),(j=0,1,…,n),這里給出了2n+2個條件,可以唯一確定一個次數不超過2n+1的多項式:

H2n+1(x)=a0+a1x+…+a2n+1x2n+1.

(15)

寫成用插值基函數表示的形式

(16)

式中：

(17)

(18)

(19)

Hermite插值和拉格朗日插值有類似的局限性,在增減結點時基函數需要重新計算,高階情況下容易出現龍格現象. 分段Hermite插值多項式可以比較好地解決此問題.

3 分段Hermite插值多項式

3.1 分段三次Hermite插值多項式

人們常采用分段插值來克服龍格現象.下面介紹分段三次Hermite插值多項式. 設已知節點a=x0

1)In(x)∈C1[a,b];

3) 在每個小區間[xk,xk+1](k=0,1,2,…,n-1).

是三次多項式. 則稱In(x)為分段三次Hermite插值函數. 若用插值基函數表示,則在整個區間[a,b]上,In(x)的表示式為

(20)

插值基函數αi(x)和βi(x)的形式分別為

αi(x)=

(21)

βi(x)=

(22)

3.2 分段五次Hermite插值多項式

分段五次Hermite插值相比分段三次Hermite插值具有更高的精度. 參考文獻[7]給出分段5次Hermite插值多項式公式. 設已知節點a=x0

1)φ(x)∈C1[a,b];

2)φ(xj)=yj,φ′(xj)=mj,φ″(xj)=nj,j=0,1,2,…,n;

3)在每個小區間[xk,xk+1][k=0,1,2,…,n-1].均為次數≤5的代數多項式,則稱φ(x)為分段五次Hermite插值函數. 若用插值基函數表示,則在整個區間[a,b]上,φ(x)的表示式為

(23)

為了公式表示方便,新增如下表達式:

(24)

hi=xi-xi-1.

(25)

用l表示li(x),則插值基函數αi(x)、βi(x)和γi(x)的形式分別為

(26)

βi(x)=

(27)

γi(x)=

(28)

4 Hermite插值分析與優化

以上章節給出了BDS-3 CNAV1導航電文衛星速度和加速度的計算公式,并介紹了Hermite插值、分段三次Hermite插值和分段五次Hermite插值. 這幾種插值方案均可用于衛星位置、速度的計算. 通常我們將衛星位置信息構造為多項式表達,然后對多項式進行微分可以得到衛星速度的計算公式. Hermite插值的公式計算和導數計算比較復雜,增減節點需要重新計算基函數,高階情況容易產生龍格現象;分段三次Hermite插值在文獻[1]中被認為是最具性價比的方案,在結點間距100～200 s時,位置精度可以達到10 cm,速度精度可以達到1 mm/s;分段五次Hermite插值在保證精度的情況下插值間距可以達到20 min,但是運算量相對有顯著提升.

本文提出一種位置和速度分別進行分段三次Hermite插值的方案,可以免去多項式求導數的計算過程,而且位置多項式與速度多項式的基函數可以復用. 由于本方案利用了衛星加速度信息,插值得到的衛星速度精度比分段三次Hermite插值采用位置多項式函數微分得到的速度精度高. 下面給出本方案的具體計算過程. 參考式(20),衛星位置和衛星速度的X、Y、Z方向可以表示為如下多項式:

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

5 實驗分析

評價衛星軌道插值方法優劣主要依據插值結點間距、插值計算精度和插值方法運算效率. 插值算法的目的就是保證衛星位置和速度計算精度的前提下,盡量減小運算的耗時. 插值結點間距越大可以減少直接用星歷計算衛星位置、速度或者加速度的頻度,但是更大的結點間距需要更高次數的插值多項式才可以保證其精度. 下面用試驗數據對比分析本文所提插值方法與其他幾種插值方法.

用采集回放儀器對天采集B1C頻點信號,然后用作者單位自研接收機接收采集回放儀播放的B1C頻點CNAV1廣播星歷,在接收機內部分別應用幾種插值方法計算衛星位置和速度,并統計其精度和耗時情況. 應用接收機可以真實反映插值方法性能.

計算衛星位置的星歷取自UTC時間2020年5月9日06∶00-07∶00的CNAV1電文廣播星歷,結點起始位置為星歷參考時間,結點間距分別取15 s、30 s、60 s、120 s、240 s、480 s和960 s,定位頻度按照1 Hz計算,衛星位置插值誤差效果如圖1所示.

由圖1所示,橫軸表示插值運算耗時(包括結點采用直接運算的時間和中間插值點采用多項式運算的時間)與直接采用廣播星歷計算耗時的比值,縱軸表示在插值點內衛星位置插值結果與直接計算結果的三維最大差值. 圖中分別畫出了五階Hermite插值、分段三次Hermite插值、分段五次Hermite插值以及本文所提方法在結點間距分別為15 s、30 s、60 s、120 s、240 s、480 s和960 s時的精度和耗時情況. 其中,分段五次Hermite插值精度最高,本文所提方法與分段三次Hermite插值精度相等,但是耗時略低. 衛星速度插值誤差效果如圖2所示.

圖2 衛星三維速度誤差效果圖

由圖2所示,縱軸表示在插值點內衛星速度插值結果與直接計算結果的三維最大差值. 其中,本文所提方法速度精度和耗時情況均優于分段三次Hermite插值. 本文方法速度精度有所提升是因為引入了衛星加速度信息,雖然在結點處增加了衛星加速度運算,但是省去了多項式微分運算.

由式(16)和式(19)可以看出三階Hermite插值與分段三次Hermite插值等效,因此本文采用3結點五階Hermite插值參與比較,由圖1和圖2可以看出,分段五次Hermite插值在耗時情況和精度方面均優于3結點五階Hermite插值. Hermite插值無需進行衛星加速度的運算,但是高階的運算復雜,增減結點基函數需要重新計算;分段五次Hermite插值需要進行衛星加速度計算,更高次數的公式推導將會非常復雜.

6 結束語

本文對Hermite插值在BDS-3中的應用進行了研究,推導了BDS-3衛星速度和加速度計算公式,提出了一種衛星位置、速度分別插值的分段三次Hermite插值方法,并與3點階Hermite、分段三次Hermite插值和分段五次Hermite插值進行了比較. 試驗證明,本文所提方法在衛星速度插值精度方面優于分段三次Hermite插值的多項式微分方法,并且耗時相比有所減少.