兩種GNSS-R鏡面反射點搜索算法

劉原華,孫毅,牛新亮

(1.西安郵電大學 通信與信息工程學院,陜西 西安 710121;2.中國空間技術研究院西安分院,陜西 西安710100)

0 引 言

作為一種新型的微波遙感技術、全球衛星導航系統反射(GNSS-R)技術具有豐富的信號源,低成本、低功耗、全天時、全天候等優點,它可以獲得各種全球海洋動力學和環境參數如海面高度(SSH),海面風場、海冰和海水鹽度. 此外,GNSS-R衛星平臺的成本和有效載荷相對較低,結合專用指向天底天線、軌道和星座的參數優化設計,可形成6～8顆衛星星座,完成多項任務,具備優良性能.

在已知接收機坐標情況下,時間延遲和反射信號路徑長度的誤差主要來自海洋表面的鏡面反射點定位誤差和大氣信號傳輸誤差. 此外,雙基雷達系統的輸出信噪比與信號傳播路徑有關,而信號傳播路徑又與鏡面反射點的位置直接相關. 在海面遙感應用中,鏡面反射點的精確位置信息也可以用來確定反射信號是來自海面、陸地還是冰面. 鏡面反射點作為參考點GNSS-R信號的反射幾何及相關參數,其定位誤差影響GNSS-R遙感產品的準確性[1].

鏡面反射點定位方法可分為物理方法和幾何方法. 物理方法以接收信號的處理為基礎,幾何方法以鏡面反射點滿足的幾何條件為基礎進行研究. 現有的鏡面反射點搜索方法包括黃金分割法[2]、二分法[3]、Gleason算法[4]、S.C.WU[5]、C.Wagner[6]、橢球面算法[7]、AdaGrad自適應算法[8]等. Gleason算法精度較高,但是迭代次數較多. 黃金分割法迭代較少,算法經典,但仍然存在一定的提升空間. 二分法模型簡單,易于計算,不過由于采用的是角度作為迭代依據,因此存在一定的誤差. 本文在分析基本幾何反射關系的基礎上,提出了2種鏡面反射點搜索算法,進一步改進鏡點搜索的算法.

首先,提出了基于斐波那契法的鏡點搜索算法,并和黃金分割法進行比較,從數論的角度證明了其算法的優越性. 另外提出了一種基于求導極值的搜索算法,該方法省去了不斷迭代的過程,從而優化了計算. 仿真結果表明,這種算法能夠計算出鏡點的位置,對鏡點的搜索具有一定的意義.

1 GNSS-R基本反射關系

在討論直射信號與反射信號的關系中,引入了鏡面反射點的概念[9],即從反射區域反射的反射信號中路徑最短的理論反射點. 其數學表達式為

f=|R-S|+|T-S|=

(1)

式中:R為接收機坐標;T為衛星坐標;S為球面坐標;其大致幾何關系如圖1所示,圖中R為接收機;T為衛星;O為地心;Re為地球半徑,在RT線段中一點為P,P所對應的星下點為S,R的星下點為a,T的星下點為b,ar和at分別表示s到R、T之間的仰角.

鏡面反射點有以下三個特征:

1)位于橢球面弧段ab上;

2)入射與出射角相等,即ar=at;

3)到R、T點距離和為最短.

圖1 基本幾何關系

2 基于斐波那契法的鏡點搜索

斐波那契法與黃金分割法類似,也是用于單峰函數. 在計算過程中,也是第一次迭代需要2個試探點,與黃金分割法的主要區別在于區間長度縮短比例不是常數,而是斐波那契數[10]. 由于斐波那契數列自身規律,迭代時相較黃金分割法有一定提升,因此帶來了計算次數的減少.

設有數列{Fk},滿足條件:

(2)

可將斐波那契數列列表如表1所示.

表1 斐波那契數列

k0123456…Fk11235813…

其通項:

(3)

斐波那契在迭代中計算試探點的公式:

(4)

其具體計算步驟如下:

1)給定初始區間[R,T]和最終區間長度L=1 m,求計算函數值的次數n. 使

Fn≥|R-T|/L.

(5)

置k=1,計算試探點λ1和μ1:

(6)

(7)

計算λ1和μ1所對應的星下點到RT距離和f(λ1)和f(μ1).

2)若f(λ1)>f(uk),則轉步驟3);若f(λk)≤f(λk),則轉步驟4).

3)令ak+1=λk,bk+1=bk,λk+1=μk

計算試探點μk+1:

(8)

若k=n-2,則轉步驟6);否則,計算函數值f(μk+1),則轉步驟5).

4) 令ak+1=ak,bk+1=μk,μk+1=λk,計算試探點λk+1:

(9)

若k=n-2,則轉步驟6);否則,計算f(λk+1),轉步驟5).

5)置k=k+1,轉步驟2).

在相同n次迭代計算時,用黃金分割法,最終區間長度為

(10)

用斐波那契法,最終區間長度為

(11)

由式(10)～(11)可知:

(12)

圖2 計算流程圖

3 基于極值求導的鏡點搜索

在WGS84坐標系下,當R(xr,yr,zr)、T(xt,yt,zt)點位置給定之后. 假設變量K∈[0,1],令P=R+k·(T-R)=(xr+k·(xt-xr),yr+k·(yt-yr),zr+k·(zt-zr)),當K從0連續變化到1時,P就取遍了RT線段中的所有點,即RT線段中的點均可用變量K和常數來表示,如圖3所示.

圖3 變量K表示RT線段

2)由映射算法知此緯度所對應的球徑ρ

凳子上擺了本書。書打開，封皮朝上，我看到了兩個字：詩集。我很詫異，柴米河，沒幾人識字，想不到別呦呦竟愛看書，這一點倒和我一樣。我愛看談狐說鬼的書，詩，幾乎不看。

那么P所對應的星下點S=p×ρ=

3)R、T為已知數,即可建立星下點S到R、T的距離和函數:

f(k)=

其圖像如圖4所示.

圖4 函數大致圖像

4)此時,鏡面反射點的搜索問題,也就轉化函數f(k)的極值問題. 利用MATLAB求導函數對函數f(k)進行一階求導,得到f′(k). 再利用solve解方程函數求解方程.

f′(k)=0.

求解出K值之后,回代入P的坐標,即可求得所對應的星下點S,此點即為鏡面反射點.

傳統做法大部分基于嘗試法,在RT區間內不斷進行迭代,根據距離最小或者角度相等的原則,不斷縮小搜索區間,最終區間小于一定長度即可得到目標點. 而這樣的做法在函數形式已知的情況下較為冗余,增加了算法編程的復雜度.

本文做法基于距離和函數的極值進行求導,相較二分法等基于角度進行不斷迭代的做法,避免了由于徑向和法向不統一而帶來的問題. 同時,本文算法只需要一步求導、一步解方程,相較黃金分割法,又省去了不斷迭代的步驟,因此優化了計算. 對鏡點的搜索具有一定參考意義.

4 仿真分析

本文采取導航模擬器生成全球衛星導航系統(GNSS)接收機和衛星在WGS84坐標系下的位置信息,接收機R的坐標為[-1747836.86, 4316984.79,-5091148.03],衛星T的坐標為[18524153.94,1465929.77,-19218107.19]. 鏡面反射點的參考坐標為[-648295.67,3698445.399,-5138472]. 基于MATLAB對本文所提出的方法進行四次仿真,閾值選取1 m. 通過分析四種方法的計算結果、迭代次數、計算時間,比較說明本文提出的兩種方法的正確性,優越性. 由于篇幅原因,在此僅列出一次仿真的結果，如表2所示.剩余仿真結果以柱狀圖的形式展示如圖5和圖6所示.

表2 鏡面反射點位置估計仿真

圖5 和參考點之間的距離

圖6 四次仿真的計算時間

如表2所示,極值求導做法距離參考點的距離是最短的,而黃金分割法和斐波那契法則次之,二分法的距離最遠.

進行多次仿真后,圖5顯示前三種方法的結果基本都在10 m以內,極值求導的距離是最小的,二分法則偏離參考點50 m左右. 斐波那契法偏離的距離要小于黃金分割法但是多于極值求導. 其主要原因在于二分法收斂原則與其他方法不同.

從四次計算的時間結果來看,極值求導的時間少于黃金分割法,幾近于斐波那契.而二分法的計算時間是最少的,其根本原因在于二分法模型簡單,每一次計算只需要求解其中間的一個點的RT距離和,而黃金分割法和斐波那契法相對復雜一些. 同時,極值求導的時間略微少于黃金分割法,近似等于斐波那契法. 綜上分析,斐波那契法在偏移距離和計算時間上對傳統做法略有提升. 而極值求導在偏移距離上有一定幅度的提升,在計算時間上和傳統做法相近.

5 結束語

隨著GNSS的迅速發展,針對鏡點搜索的需要,本文提出2種鏡面反射點搜索算法. 首先提出了斐波那契算法,從數論角度證明了該方法相較黃金分割法有一定提升,進一步減少了迭代次數. 另外,本文提出了基于極值求導的搜索方法,相較傳統做法,它省去了不斷迭代的過程,采用極值求導的思想計算出鏡點,具有一定的優越性. 最后采用導航模擬器生成的數據進行仿真,結果表明,兩種方法均可以有效計算出鏡面反射點的位置,具有一定的借鑒意義.