全等變換萬千題 源頭卻在課本中

文錢小強

“全等三角形”是初中數學的重要內容之一，在中考中占比很大。三角形的全等變換主要有平移、翻折、旋轉三大類，只改變三角形的位置，不改變三角形的形狀和大小。仔細研究課本你會發現，無論問題如何變化，這類問題的根其實就在課本之中，有的直接來自課本原題，有的則是將課本原題適當改編。課本是萬題之源，也是數學學習之根本。

一、平移型全等變換

例1（2019·江蘇連云港）如圖1，在△ABC中，AB=AC。將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，其中點E在邊BC上，DE與AC相交于點O。（1）求證：△OEC為等腰三角形；（2）連接AE、DC、AD，當點E在什么位置時，四邊形AECD為矩形，并說明理由。

【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八（上）第21頁例6：

已知，如圖2，點A、B、C、D在一條直線上，EA//FB，EC//FD，EA=FB。求證：AB=CD。

【特點比較】兩題本質上都考查了三角形全等的知識，比較發現：連云港試題考查了全等三角形的性質，直接將“三角形平移”作為條件，根據平移的性質可以直接得到兩個三角形全等，然后借助等腰三角形的性質解答；課本例題呈現的是一個靜態圖形，既考查了全等三角形的判定，也考查了全等三角形的性質，由題目條件可以得到△AEC≌△BFD，雖然條件中沒有“平移”二字，但本質上也是三角形的平移。兩題如出一轍。解題過程留給同學們探索。

二、翻折型全等變換

例2（2019·江蘇常州）如圖3，把平行四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點C落在點C′處，BC′與AD相交于點E。（1）連接AC′，則AC′與BD的位置關系是_____；（2）EB與ED相等嗎？證明你的結論。

【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八（上）第28頁例8：

已知，如圖4，AD、BC相交于點O，AD=BC，∠C=∠D=90°。求證：AO=BO，CO=DO。

【特點比較】比較兩題，發現兩題都屬于三角形的翻折，它們的證明方法類似，而且都可以變式、拓展，具有較大的發展空間。兩題的不同之處是所給條件不同。常州試題從圖形變換的角度直接給出翻折的條件，課本例題則是從靜態的角度給出了翻折后的圖形；常州試題給的是一般三角形，課本例題中是直角三角形。解題過程同樣留給同學們自行探索。

三、旋轉型全等變換

例3（2019·江蘇蘇州）如圖5，△ABC中，點E在BC邊上，AE=AB，將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G。（1）求證：EF=BC；（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度數。

【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八（上）第21頁“討論”的第1題：

如圖 6，∠A=∠B，∠AEB=∠CED，EA=EB，你能證明AC=BD嗎？

【特點比較】蘇州試題與課本例題圖形較為接近，但又有所區別。兩題的結論基礎都與三角形全等緊密相關，都可以從結論著手分析，找出要證明的兩條邊所在的三角形的全等關系。蘇州試題要證EF=BC，只要證△AEF≌△ABC；而課本例題要證AC=BD，只需證△AEC≌△BED。兩題圖形中的一個三角形都可以看成由另一個三角形繞某一點旋轉而成，可運用旋轉的有關知識解決。兩題不同之處在于呈現的方式不同，蘇州試題直接將旋轉變換作為條件，課本例題中條件沒有指明旋轉，但本質也是三角形旋轉變換。同學們可以試著寫出解題過程。

從上述試題追蹤與特點比較可以看出，盡管中考試題千變萬化，但它們的源頭離不開課本，即課本的基礎知識、基本方法與基本圖形。我們在學習數學時，一定要充分發揮課本的作用，以不變應萬變，避免陷入“題海”之中。