《反比例函數的應用》示范課案例解讀

屈宗清

10月26日，我代表“國培計劃”（2019）第五批項目縣冷水灘區“送教下鄉”培訓團隊在冷水灘區嵐角山中學展示了一節示范課。本次送教下鄉的對象是冷水灘區農村數學教師，主題是“課標指導下的教材單元整體教學設計及教學實踐”。本節課以“送教下鄉” 整體設計流程為模板，以單元整體教學設計為理念，歷經三個月的時間，由送教下鄉團隊多位成員歷經數稿共同打磨而成。

一、教材分析

（一）反比例函數章節是湘教版九年級上期第一單元。在此之前學生于八年級下期第三、四單元學習了《平面直角坐標系》和《一次函數》，對函數的基本概念、圖象、作法、性質有了一定的認識，但函數的建模思想，數形結合的思想方法的體驗與理解不夠到位;而后九年級下期教材安排了《二次函數》章節。故此內容位于初中函數內容的中段，起著承上啟下的作用。

（二）《反比例函數的應用》一課位于《反比例函數》一章的第三節第一課時。在此之前學生學習了反比例函數的概念、圖象和性質、待定系數法求反比例函數的解析式等內容，但理解不甚透徹，運用不甚熟練，特別是對于現實生活中數學原理的運用，學生較為生澀。

教材分析部分分兩部分：一、分析反比例函數單元在初中數學教學體系中的地位，承接前期的學習基礎、為后續的學習提供的思維導向;二、分析《反比例函數的應用》一課在本單元中的地位。

二、學情分析

（一）本節課之前學生學習了反比例函數的概念、反比例函數的圖象和性質、待定系數法求反比例函數的解析式。

（二）學生對反比例函數的性質的具體條件掌握不太熟練，用反比例函數進行說理的語言表達不嚴謹，邏輯不嚴密。

（三）在用函數思想解決實際問題時，學生對數學建模、數形結合、將反比例函數的建模思想進行類比推廣等數學思想掌握不夠。

學情分析部分主要預設學生在學習過程中可能出現的問題，為教學過程的具體實施提供導向。

三、教學目標

（一）知識與技能：能判斷數量間的反比例函數關系;能求反比例函數的解析式;能運用反比例函數的圖象和性質解決相關問題;能將反比例函數的建模思路推廣至一次函數建模、二次函數（未來）、方程、不等式等建模問題。

知識與技能目標的設計著重體現本次“送教下鄉”的主題，體現本堂課的建模思路在初中數學中的推廣和應用。

（二）要素與素養：經歷“實際問題——數學建模——拓展應用”的過程，提高學生發現問題、分析問題、運用反比例函數解決問題的能力;運用雙曲線滲透數形結合的數學思想方法，培養學生將反比例函數知識應用于生活實際的數學思想。通過運用反比例函數知識解決實際問題的過程，體會數學來源于生活、服務于生活的應用數學的意識并加以推廣。

（三）學習與發展：經歷分析實際問題中變量之間的關系建立反比例函數模型進而解決實際問題的過程，體現數學的實用性，提高學習數學的意識。通過探究合作交流展示過程，提高學生探索精神和創新意識，養成良好的學習習慣。

四、教學重點

綜合運用反比例函數的圖象和性質解決有關問題

五、教學難點

能夠分析實際問題中的數量關系，建立反比例函數模型，綜合運用反比例函數的圖象和性質解決實際問題。

六、教學過程

（一）復習導入

1.知識鏈接

⑴反比例函數的概念：一般地，形如 （K是常數K≠0）的函數叫做反比例函數。

⑵反比例函數的圖象及其性質。

反比例函數的圖象是雙曲線

反比例函數：當k>0時，兩支曲線分別在_________，在每一象限內，y的值隨x的增大而______。當k<0時，兩支曲線分別在_________，在每一象限內，y的值隨x的增大而______。

（設計意圖：從知識點角度復習反比例函數的概念和性質）

⑶甲乙兩地相距200千米，一輛汽車從甲地駛往乙地，汽車的平均速度x（千米/小時）和所用的時間y（小時）之間的關系為

⑷請列舉一個你喜歡的反比例函數，使它的圖象的兩支分別在第一、三象限。

⑸已知變量y與x成反比例函數，且其圖象經過點（4，-5），則反比例函數的解析式為 ? ? ? ;已知點（2，a）在反比例函數的圖象限上，則a= ? ? ? ? 。

（設計意圖：從習題角度復習反比例函數的概念和性質）

⑹小結：

2.問題情境

求生專家埃德·斯塔福特在一次荒野求生中需要穿過一條冰封的河流。當行進到河流中央時，埃德發現腳下的冰面產生了裂紋。為了逃生，下列選擇最恰當的處理方式是：

A.踮著腳，慢慢走向河岸

B.迅速平趴，張開雙手雙腳，爬向河岸

C.我有更好的建議

請結合物理學和數學相關知識說明你選擇的理由。

（設計意圖：通過觀看視頻導入新課，易于抓住學生的注意力，案例來源于生活，易于被學生接受。A、B選項具有對比性，用于切入本堂課的主題，C選項為思路活躍的學生留有余地，也保證了本堂課的發散性。）

（二）新知探究：

1.小組合作，推薦代表展示成果。

分析：（1）解決上述問題需用哪些物理學知識？它們之間有什么關系？你能寫出它們三者之間的關系式嗎？

（2）本題中A、B三種不同的逃生方式中上述哪種量近似不變？改變的是哪種數量？埃德·斯塔福特需要改變哪種量來保證自己的安全？

（3）你能用數學知識來解釋這個物理學問題嗎？

a、在壓力不變的情況下（假定壓力為400牛頓），壓強和受力面積是什么函數關系？

b、請畫出這個函數的圖象。（設計意圖：通過畫圖，進一步培養學生的函數觀念，以及用變化的角度來解決問題的思維方式。）

c、你能用反比例函數的相關性質結合圖形來解釋這個物理學問題嗎？

（4）小組討論方案A的可行性。（提示：注意運用函數知識說明理由）

（5）總結歸納：

生活實踐——數量關系——函數建模——解決問題

（設計意圖：以上為本堂課的核心內容，著重訓練學生由生活實例抽象出數量關系，由數量的定、變量關系概括出函數關系，再運用函數關系解決實際問題的思維方式，以后續的課堂練習、推廣應用打下基礎。）

2.知識遷移：

你能根據玻意耳定律（在溫度不變的情況下，氣體的壓強p與它的體積V的乘積是一個常數k（k>0），即pV=k）來解釋，為什么使勁踩氣球時，氣球會爆炸？

先由學生小組討論，然后由小組代表回答，最后教師引導總結：

由pV=k可得， ，p是V的反比例函數，當使勁踩氣球時，隨著氣球體積減小，氣體的壓強p增大，所以氣球會爆炸。

（設計意圖：由上述的總結歸納進行推廣應用，借以培養學生語言表達能力及表述時的思維的嚴密性。）

（三）課堂練習

下表為九年級一班物理實驗中測量的電流（I）與電阻（R）的對應數據表。觀察下表，回答問題：

（1）猜想電流（I）和電阻（R）的關系，并寫出電流I關于電阻R的表達式。

（2）完成上表。

（3）怎樣調整電路中的電阻R，使電路中的電流I增大？

（四）反饋內化

1.知識網絡構建

生活情境——數量關系——函數建模——解決問題

（設計意圖：利用此環節將本堂課建立的模型推廣到其他函數、方程、不等式等其他數學模型，增強本課思維模型的普適性。）

2.收獲與疑惑

本節課我們學到了什么？啟發學生談談本節課的收獲。

⑴利用反比例函數的知識解決實際問題，首先找出數量關系，再轉化為函數關系式，利用待定系數法求出解析式，再根據解析式解得。

⑵反比例函數與實際問題緊密相聯，了解了數學在其他學科中的應用，特別是為討論一些物理量之間的關系打下良好的基礎。

⑶從埃德·斯塔福德身上學習勇于面對困難、珍愛生命等精神。

（五）學海拾貝

1.下列各點在反比例函數y= 上的是

A.（3，2） ? B.（-3，2） ?C.（3， ） ?D.（- ，3）

2.已知y與2（x+1）成反比例，且 x=1時y=3，那么當x=0時y= ? ? ?。

3.教師節來臨之際，班委會用500元購買同種鮮花送給各位科任老師，試寫出鮮花支數y（支）與單價x（元/支）之間的函數關系式。

4.日常生活中的許多現象應用了反比例函數，下列現象應用了反比例函數的有（ ? ）

（1）刀越磨越鋒利;（2）臺燈的亮度可以調節;（3）汽車負載越重，行駛得越慢;（4）氣球可以飛上天。

A.1個 ? ?B.2個 ? ?C.3個 ? ?D.4個

5.在埃德冰面求生的問題中，本節課我們從增大受力面積的角度用反比例函數知識解決了問題，請問能否換個角度來達到求生的目的呢？

（設計意圖：照應前文，進一步深化本堂課的思維模型的拓展，用正比例函數的性質解決問題。）

（六）必做作業P16 A組：1

（七）選做作業：

如圖A是反比例函數y= （x>0）圖象上任意一點，AB平行于 x軸交反比例函數y=- （x<0）的圖象于點B，P為x軸上一點，求三角形ABP的面積。

七、板書設計

綜上所述：

課前，我花費大量心思備學生，力求創造師生共同學習，以學生為主體教師適時點撥的自主學習課堂。由于是異地授課，又是農村學生，我擔心學生沒見過幾十位老師在現場聽課的大場面，會因為緊張而冷場，于是我課前分組時加入了一個小游戲——聽組號站立、坐下，并為激勵學生，準備了一套《數學奧賽題解》作為獎品送給表現突出的小組。現場反饋，這種方式效果不錯，值得我今后繼續完善使用。

本課由復習——情境導入——新知探究——課堂練習——反饋內化——學海拾貝——作業幾個環節組成。本堂課采用視頻導入的方式切入課題，在農村中學中并不常見，實踐中效果不錯。而后的問題拋出，既緊密貼合視頻，又充分體現本堂課的主題，是本堂課設計中的一個亮點。由于課前準備充分，預案考慮周到，學生的各種回答均在我掌控之中，故此環節既體現了學生的主體作用，又很好地把握住了本堂課的實質（沒有跑馬），此環節自我較為滿意。

本節課作為此次“送教下鄉”的示范課，目的是為了示范“反比例函數的應用”這一課時在《反比例函數》這一章及初中數學中的地位。故我在本堂課的“反饋內化”環節設置了將本堂課的思想拓展為——“函數建模”可以變換為“一次函數建模”“方程建模”“不等式建模”“二次函數建模”等，提升了本堂課作為應用課的“建模”作用。學生學習了本堂課之后，可以將此課的模式推廣到其他數學模型，增強了本堂課的普適性。