利用“將軍飲馬”解決線段最值問題

賀建偉

“將軍飲馬”模型是解決線段和的最小值，線段差的最大值問題的經典模型，也是陜西中考14題，25題的常考題型。解決此類問題的關鍵是要理解知識背景及解題思路和策略！

類型一：兩定點在直線的異側時求兩線段和的最小值

問題1：在定直線L上找一點P，使得P到定點A，B的距離之和最小，即AP+BP的最小值。

結論：當A，P，B三點共線時（即點P為線段AB與直線的交點時），AP+BP有最小值為線段AB的長！

證明：在L上任意取一點P（不與P重合），連接AP BP，在三角形ABP中有AP+BP>AB。所以當A，P，B三點共線時AP+BP有最小值為AB的長！

類型二：兩定點在直線的同側時求兩線段和的最小值

問題2：在定直線L上找一點P，使得P到定點A，B的距離之和最小，即AP+BP的最小值。

結論：作A或者B關于直線L的對稱點A或B，再連接AB或者AB為AP+BP的最小值！

依據：兩點之間線段最短、三角形任意兩邊之和大于第三邊！

類型三：兩定點在直線同側時求兩線段差的最大值

問題3：在定直線L上找一點P，使P到A，B的距離之差最大，即AP-BP絕對值的最大值。

結論：當A，B，P三點共線時（即點P為線段BA的延長線與直線的交點時）AP-BP的絕對值有最大值為AB的長。

證明：在L上任意取一點P（不與P重合），連接AP? BP 在三角形ABP中AP-BP的絕對值小于AB。所以AP-BP絕對值的最大值為AB的長！

類型四：兩定點在直線異側時求兩線段差的最大值

結論：作A或者B關于直線L的對稱點轉化為類型三即可得出AP-BP絕對值的最大值！

模型應用：例1：如圖：在邊長為2的菱形ABCD中，角DAB=60，E是AB邊上的一點，且AE=1，點Q為對角線AC上的動點

解析：（1）求三角形BEQ周長的最小值

例2：如圖：在銳角三角形中，AB=4，角BAC=45，角BAC的角平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值。

解析：作B關于AD的對稱點B，則BM+MN=BM+MN。所以當B、M、N共線且與AB垂直時BM+MN有最小值為BN的長！