巧造原函數解抽象不等式

江凱榕

摘? ?要：自導數進入高中數學的教材后，高考題中出現了條件含有導函數與原函數的不等關系的一類題，這類題一般求解的也是不等式或是求范圍等的問題.在課堂教學中通過專題案例分析，構造函數，層層深入，有助于學生對這類問題的理解。

關鍵詞：導數;不等式;原函數;

1? 利用導數運算法則構造函數

在必修一中，我們就已經掌握了解決抽象不等式問題的一種常規方法，也就是將不等式轉化為與之對應的函數，再利用函數的單調性進行求解.而函數導數的符號與函數的單調性直接相關。題目中的這些含導不等式大多都是反映某個原函數的導數符號，隱性地給出某原函數的單調性.下面我們給出對這類問題總結的一堂課的實錄與思考。

【例題1】（2015全國高考II卷12題）設函數f'（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf'（x）-f（x）>0，則使得函數f（x）>0成立的x取值范圍是（）。

A.（-1，0）∪（1，+∞）? ? ? ? ?B.（-∞，-1）∪（0，1）

C.（-∞，-1）∪（1，+∞）? ? ?D.（-1，0）∪（0，1）

解析：這是一道高考原題，要解決這類問題，就要引導學生從題目中的條件“xf'（x）-f（x）>0”入手，分析出這個不等式所蘊含的結論，這是解答本題的難點。

師：解決這道題的關鍵在哪里？

生：對條件xf'（x）-f（x）>0的理解。

師：對本道題的條件xf'（x）-f（x）>0同學們有什么想法？

生：可以從此不等式的結構特征中發現它符合兩個導函數除法公式中的分子的結構。

師：那么你們可以構造出這個式子的原函數嗎？

生：是由f（x）與x相除組合來的，可以假設g（x）=，此時g'（x）的分子就是題中的不等式，而分母是一個平方項，因此g'（x）的符號是確定的。

師：我們將g（x）稱為原函數，那么你們可以得到關于它的更多的性質嗎？

生：可以求出原函數的單調性、奇偶性、零點，從而大致掌握原函數g（x）的圖象。而要求的是f（x）>0的解集，又由構造知f（x）=xg（x），因此可以由x與g（x）的符號變化判斷出f（x）>0的解集。

師：本題蘊含著函數、方程的思想，很好的體現了導數的工具性。感受如何結合已知不等式結構，通過類比、聯想、驗證等數學思想方法構造與不等式相關的函數，從而解決所求不等式的問題[ 1 ]。

2? 結合y=ex考慮導數運算法則構造函數

【例題2】已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導函數，且f（x）>f'（x）對于x∈R恒成立（e為自然對數的底），則（）。

A.e2015·f（2016）>e2016·f（2015）

B.e2016·f（2016）=e2016·f（2015）

C.e2015·f（2016）

D.e2015·f（2016）與e2016·f（2015）大小不確定

師：這次我們的入手點依然是含有導函數的條件“f（x）>f'（x）”，與上一題相比有什么不同？

生：需先對f（x）>f'（x）進行變形得到f（x）-f'（x）>0，這樣的形式能得到含導函數式子與0的大小比較，也有助于構造出原函數。

師：根據導數除法的原理，因為1的導數不可能是1，這個式子是絕對不能直接符合導函數加減法后的結果的。那么能找到一個函數，使得它的原函數和導函數是一致的嗎？

生：y=ex可以符合要求，那么可以看成原式f（x）-f'（x）>0同時約去了ex。那我們將其補上變成exf（x）-exf'（x）>0，此時式子就擁有了導數的意義，即

師：非常好，那么我們構造了一個函數g（x）=，它的導數的符號為負，從而由它的單調性可知g（2015）>g（2016），得出正確選項是C。

3? 利用復合函數的導數運算法則構造函數

【例題3】已知f（x）是定義在R上的可導函數，若在R上3f（x）>f'（x）恒成立，且f（1）=e3（e為自然對數的底數），則下列結論正確的是（）。

A：f（0）=1? ? ?B：f（0）<1? ? ?C：f（2）e6

生：本題依然要把式子移項變形為3f（x）-f'（x）>0，同上題，將式子兩邊同乘ex，得到3exf（x）-exf'（x）>0，但是此不等式依然不具有構造函數導數的意義。

師：非常棒，這類題目雖然千變萬化，但是你已經抓住了它的規律。我們可以把方法總結為：第一步，移項變形，使得不等式的右邊為0;第二步，抓等價轉化，利用恒等變形將目標進行適當的轉化;第三步，將不等式的左邊看作是某一個函數的導數，還原出導數的原函數。 那么我們思考3exf（x）-exf'（x）>0中的唯一的系數3是怎么由求導得到的？

師：我們發現函數結構不變，多出的系數可能是由復合函數產生的。給出原函數熟練地求出導函數是我們需要掌握的基礎知識，但本類問題需要大家根據觀察到的式子特征，逆向思維，由含導不等式變形轉化，最終聯想到它的原函數是由什么基本初等函數或復合函數構造而成的[ 2 ]。再利用構造出的原函數的導數符號，明確函數單調性，來解不等式或比較大小等。

4? 掌握運算法則與規律，靈活構造函數

（1）逆用導數加減法法則 （不等式為導函數與常量或變量的和與差）。

綜上，構造原函數來解決問題是解決函數、不等式、數列等問題的一種基本方法，需要綜合地分析問題與解決問題的能力，同時還需要有直觀想象、數形結合等多種數學素養和思想方法.構造函數是一種創新思維，對能力的要求較高，需要在解題實踐中不斷積累經驗，且學且悟[ 3 ]。

參考文獻：

[1]鮑遠春.構造原函數，利用導數解決一類函數題[J].課堂內外.教師版，2018（11）.

[2]浦麗俐.以微專題的形式評講作業-以構造原函數題型為例[J].中學數學月刊，2017（9）.

[3]孫玉才.構造函數，巧解題[J].中學數學（高中版）上半月，2018（2）.