數形結合思想在初中數學教學中的實例分析

何金蘭

摘 ?要：數形結合是初中數學最重要的思想之一，它是連接數學中具體問題與抽象問題之間的紐帶。它既充分體現了學生的解題思維能力，又為后續深入的高層次學習打下了基礎。本文結合了本人的一些教學體會，主要從代數、幾何和統計方面來分析：數轉化為形，形轉化為數，數形結合，在教學中如何使學生充分認識“數”和“形”之間的內在聯系，把問題化繁為簡，化難為易從而培養學生思維的靈活性、廣闊性。

關鍵字：數形結合;思想;代數幾何統計;思維能力

一、數與代數中的數形結合

新一輪課程改革中的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、和諧、持續的發展，它要求學生通過學習數學知識、技能和方法，逐漸形成自己的數學思想和方法，讓學生學會用數學的眼光看待生活中的人和事物，學會用數學的方法解決生活中的實際問題，那么，作為最基本的數學思想之一的數形結合思想在新課程中又是怎樣體現的呢？

在數與代數的教學里，我認為，應該抓住實數與樹軸上的點一一對應的關系，有序實數對與坐標平面上的點的一一對應關系，從數形結合的角度出發，借助數軸處理好相反數和絕對值的意義，有理數大小的比較，有理數的分類，有理數的加法運算，不等式的解集在數軸上的表示等。教師讓學生經歷試驗、探索的過程，體驗如何用數形結合思想分析和解決，培養學生學習和應用的能力，從而激發其學習數學的原動力。

教學案例1：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解可以理解為函數y=ax2+bx+c的圖象與函數值y=0，即x軸的交點的橫坐標。

當方程中△>0 方程有兩個不相等的實數根 y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點。

當方程中△=0 方程有兩個相等的實數根 y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個交點。

當方程中△<0 方程無實數根 y=ax2+bx+c的圖象與x軸無交點。

以上所提到的“數” “形”揭示了數形結合是數學中應遵循的規律，“數”與“形”的教學不能孤立進行，而應是交錯進行，相輔相成。

例：①x2-x-6=0，△=25>0，x1=-2，x2=3，即y=x2-x-6與x軸的公共點A（-2，0），B（3，0）。

②x2-2x+1=0，△=0，x1=x2=1即y=x2-2x+1與x軸的公共點A（1，0）。

③x2+1=0，△<0，方程沒有實數根即y=x2+1與x軸沒有公共點。

在“數與代數”的教學中，教師應強調數與形的結合，讓學生建立由數想到形，由形想到數的思想，這樣可以加深學生對“數與代數”的理解和認識，如利用圖形理解完全平方公式、平方差公式，利用函數圖像理解函數的變化趨勢等都是培養學生數形結合思想的極好的方法。

二、“空間與圖形”中的數形結合

新課程中的幾何內容做了較大的刪改，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度。教師要把握好數學思想方法在整個教學發展中的地位，對于“數形結合”，教師要善于挖掘教材和生活中的素材，從形到數，揭示“形”中“數”的本質。

教學案例2：如圖，是連接在一起的兩個正方形，大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍。問：若只許剪兩刀應如何裁剪，使之能拼成一個新的大正方形？

對于這一問題學生往往采取實驗的方法，這里裁一刀，那里試一剪，但卻極少有人能在短時間內拼湊好。如果對題目認真加以分析，我們不難發現，從已知到結論，圖形雖然變了，但其中卻還有沒變的東西——面積，若設小正方形的面積為1，則其邊長就是1，這樣一來，我們僅需沿著圖4中邊長為 的線段去考慮裁剪即可，而圖中這樣的線段沒有幾條，于是很快就能找到答案。

問題之所以能很快解決，關鍵是我們從問題“變”中看到了“不變”，從“形”的表面找到了“數”這一實質。一個似乎是純幾何的問題，在“數”的引導下獲得了最好的解決方式，這種由表及里，形中有數的思想方法，正是數學中“數形結合”的思想方法。

三、“統計與概率”中的數形結合

新課標中的統計與概率，在內部編排和內容要求上卻有所加強，真正讓學生經歷統計的全過程，發現并提出問題，運用適當的方法，收集和整理數據，運用合適的統計表統計圖來展示數據做出決策。

教學案例3：甲口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有字母A和B;乙口袋中裝有3個相同的小球，它們分別寫有字母C，D和E;丙口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有字母H和I.從三個口袋中各隨機取出1個小球.

（1）取出的3個小球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別是多少？

（2）取出的3個小球上全是輔音字母的概率是多少？

解：根據題意，可以畫出如下樹狀圖：

綜上所述，“數無形不直觀，形無數難入微”，由于數形結合具有形象直觀、易于接受的優點，它對于溝通知識間的聯系，活躍課堂氣氛，開闊學生的思路，發展學生的潛能，提高學生的創造思維能力和開拓精神，使學生充分張揚個性，充分發揮潛能，真正實現個體的最優化發展都有很大幫助。

參考文獻：

[1]陳大豐.數形結合思想在初中數學教學中的應用分析[J].黑河教育，2016（1）.

[2]吳世明.數形結合思想在初中數學教學中的應用與分析[J].未來英才，2017，000（006）：115.