類比思考 融會貫通
——淺談函數(shù)關(guān)于坐標軸對稱圖形的解析式

吉林省白城市洮北區(qū)鐵路第二中學 呂萬江

函數(shù)的學習是學生數(shù)學思維的一次飛躍，由原來常量的學習過渡到變量的學習，函數(shù)就是描述變化規(guī)律的一種數(shù)學模型。在初中學習階段接觸了三種函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)。接下來，探究三種函數(shù)關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的圖形的解析式。

在平面直角坐標系中，點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）；點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（-x，y）；點（x，y）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（-x，-y）。利用對稱點坐標的特征，就可以得出三種函數(shù)關(guān)于坐標軸對稱圖形的解析式。接下來結(jié)合實例對三種函數(shù)分別進行說明。

一、一次函數(shù)

例題1：已知直線y=2x-4，求此直線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的直線解析式。

方法一：欲求直線y=2x-4 關(guān)于x軸對稱的直線解析式，學生通常的做法是依據(jù)數(shù)學的一個基本事實“兩點確定一條直線”，在直線y=2x-4 上任取兩點的坐標，根據(jù)點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（x，-y），得到這兩個點關(guān)于x軸對稱點的坐標，再利用待定系數(shù)法，求得直線y=2x-4 關(guān)于x軸對稱的直線解析式。利用同樣的方法，可以求出直線y=2x-4 關(guān)于y軸、原點對稱的直線解析式。此方法易懂，有利于學生接受，但是運算量較大，在運算的過程中容易出現(xiàn)錯誤。

方法二：利用對稱點的坐標規(guī)律，如果兩個點關(guān)于x軸對稱，那么這兩個點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)。順著這個思考方向，如果兩條直線關(guān)于x軸對稱，那么這兩條直線上所有的對稱點的橫坐標都相等，縱坐標都是互為相反數(shù)。也可以這么理解：已知直線解析式與所求直線解析式中x的值是相同的，y的值是互為相反數(shù)的。所以可以不改變直線解析式y(tǒng)=2x-4 中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到直線y=2x-4 關(guān)于x軸對稱的直線解析式。利用同樣的方法，不改變直線解析式y(tǒng)=2x-4 中y的值，用-x代換解析中x的值，就可以得到直線y=2x-4 關(guān)于y軸對稱的直線解析式；用-x代換解析中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到直線y=2x-4 關(guān)于原點對稱的直線解析式。

二、二次函數(shù)

例題2：已知拋物線y=x2-2x+2，求此拋物線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的拋物線的解析式。

方法一：在沒有任何鋪墊的情況下出示此題，學生會從頂點式入手解決問題。把一般式y(tǒng)=x2-2x+2 化成頂點式y(tǒng)=（x-1）2+1，而拋物線y=x2-2x+2 關(guān)于x軸對稱的拋物線形狀大小與原拋物線相同，但開口方向相反，可知所求拋物線的二次項系數(shù)為-1，頂點坐標與原頂點坐標關(guān)于x軸對稱，因此，拋物線y=x2-2x+2 關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析為y=-（x-1）2-1。此方法直觀形象，也有利于學生接受。再用同樣的方法，可求拋物線y=x2-2x+2 關(guān)于y軸、原點對稱的拋物線的解析式。

方法二：仿照例題1 的方法一，學生需要找到原拋物線上的三個點，再根據(jù)點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（x，-y），得到這三個點關(guān)于x軸對稱點的坐標，再利用待定系數(shù)法，求出拋物線y=x2-2x+2 關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式，此方法計算量大，增加出錯的機率。

方法三：仍然利用對稱點的坐標規(guī)律，如果兩條拋物線關(guān)于x軸對稱，那么這兩條拋物線上所有的對稱點的橫坐標都相等，縱坐標都是互為相反數(shù)，因此可以不改變拋物線解析式y(tǒng)=x2-2x+2 中x的值，用-y代換解析中y的值，就可以得到拋物線y=x2-2x+2 關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式。利用同樣的方法，就可以得到拋物線y=x2-2x+2 關(guān)于y軸、原點對稱的拋物線解析式。此方法可以快速求得所要的解析式。

立足于學生已有的知識基礎(chǔ)與經(jīng)驗，在探究一次函數(shù)關(guān)于坐標軸對稱圖形的解析式的過程中，不斷引導學生用類比的方法，通過點對稱輕松求出二次函數(shù)、反比例函數(shù)的對稱圖形的解析式，從中感悟共同之處，并體會其中所蘊含的思想方法。