經歷探究過程 獲得數學結論
——以“多邊形的內角和”一課的教學為例

江蘇省南通市北城中學 黃 紅

一、經歷操作過程，引入探究內容

在“多邊形的內角和”一課的教學中，首先我引導學生借助一張長方形紙開展操作活動。

師：同學們，你們現在手中都有一張長方形紙片。現在需要把這張長方形紙片任意地剪掉一個角，你能想到幾種剪法？剪掉之后變成了什么形狀？大家先自己操作一下，再和同學們交流自己的方法。

（學生經過思考進行操作，然后全班交流）

生1：把長方形的一個角剪掉，剩下的圖形可能是三角形，也可能是梯形。

生2：把長方形的一個角剪掉，除了他說的三角形和梯形，還可以得到五邊形。

師：你們能到黑板上把剪的過程畫一畫嗎？（學生上臺畫）

師：把長方形的一個角剪掉后會變成三角形、梯形或五邊形。這些圖形都屬于“多邊形”，這一節課我們來研究“多邊形的內角和與外角和”。

研究“多邊形的內角和”的基礎是“三角形的內角和”，以上片段中讓學生借助操作活動，不僅能夠引入課題，而且能夠在這個過程中初步感受到“多邊形的內角和”與“三角形的內角和”的聯系，從而為接下來的數學探究奠定基礎。

二、經歷探究過程，獲得數學結論

在初中數學課堂教學中，引導學生經歷數學探究的過程是十分重要的，學生在數學探究過程中獲得的數學結論才是他們自己的。因此，在引入課題以后，我從以下幾個環節引導學生進行數學探究。

1.引導數學猜想，感知數學結論

師：同學們，你們覺得一個四邊形的內角和會是多少度？

生1：我覺得四邊形的內角和是360°。

師：為什么呢？能說說原因嗎？

生2：因為正方形和長方形的每個內角都等于90°，所以四個角加起來就是360°。

生3：我覺得你的說法不對，你說的正方形和長方形屬于特殊四邊形，不具有普遍性，不能證明任意四邊形的內角和都為360°。

師：你的思維真嚴謹。在小學的時候，我們對長方形和正方形都已經有了一定的認識，知道它們的內角和為360°，因此我們猜想任意四邊形的內角和也一樣。那么這個猜想到底對不對呢？這需要我們用理論知識來證明。

在這個環節中，喚醒學生小學時學過的關于長方形和正方形的內角為90°的知識，學生對任意四邊形的內角和進行了猜測。這種方式有利于學生體會從具體到抽象、從特殊到一般的數學思維方法。

2.引導數學探究，獲得數學結論

師：對于比較復雜的問題，我們一般都是用化未知為已知的方法，利用已經掌握的知識對新的問題進行研究。你們覺得可以把四邊形的內角和轉化成什么來研究？

生：可以轉化成三角形來證明。

師：是的，大家都很聰明！都想到了用三角形的有關知識來解決四邊形的問題。

師：那么如何進行轉化呢？

生：可以畫輔助線。

師：那請大家想一想具體的驗證方法吧。

學生在草稿本上畫圖驗證，教師巡視。學生用了三種把四邊形分成幾個三角形的方法，如下所示：

師：下面請同學們上來用實物投影儀展示自己的方法，同時講一講自己是怎么想的。

生1：如圖1 所示，我用一條輔助線把四邊形分成了兩個三角形，因為三角形的內角和為180°，所以四邊形的內角和就等于360°。

生2：如圖2 所示，我把四邊形分為四個三角形，然后就可以用四個三角形的內角和減掉中間的一個圓周角度數，最終的結果等于360°。

師：還有不同的方法嗎？

生3：其實可以在這個四邊形內隨意取一個點，然后和四個頂點相連，這樣就得到四個三角形，如圖所示，用四個三角形的內角和減掉中間的一個圓周角度數得到360°。

師：你們覺得這三種方法哪一種更具有普遍性？

生：第三種方法更具有普遍性。

在這個環節中，學生根據自己的理解通過畫一畫對四邊形的內角和進行了探究，在這個過程中體驗到了把四邊形分為幾個三角形來解決問題的優勢。

三、引導類比遷移，拓展數學結論

師：同學們，你們經過自主探究證明了“四邊形的內角和為360°”這一結論。那對于五邊形、六邊形、七邊形等，它們的內角和分別是多少呢？請大家在小組內四人合作探究，然后推論出n邊形的內角和度數。

學生在四人小組內借助研究四邊形內角和的方法對五邊形、六邊形、七邊形的內角和進行了探究。在這個過程中，他們發現五邊形可以劃分為五個三角形、六邊形可以劃分為六個三角形、七邊形可以劃分為七個三角形……并根據三角形的內角和等于180°推導出了n邊形的內角和規律。

師：你們真厲害！在歷史上，這一規律人們花了很長的時間才發現，而大家在這一節課的時間里就發現了。不過在數學中為了清晰地表達規律，一般都會用簡潔的字母公式來表示，同學們動動腦，試試能否用一個公式把多邊形的內角和規律表示出來？

生：（n-2）×180°。

在這個環節中，學生通過類比遷移自主探究了多邊形的內角和公式，在這個過程中，學生經歷了由特殊到一般的數學歸納過程，有效地培養了思維能力。