考題萬變，本質(zhì)不變
——平面向量高考題的復(fù)習(xí)與教學(xué)

江蘇省泰興中學(xué) 錢繼兵

為了更好地應(yīng)對(duì)2020 年高考，筆者對(duì)近幾年江蘇高考試卷中的平面向量試題進(jìn)行了分析，總結(jié)出幾種常見的題型，了解平面向量高考試題的命題方向，并以此制訂有效的復(fù)習(xí)策略，以期為新一屆高三學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提供指導(dǎo)。

一、常見的平面向量高考題型

題型一：平面向量的基本概念

例1（江蘇卷·6）：已知向量a＝（2，1），b=(1，-2)，若ma+nb=（9，-8），m，n∈R，則m-n的值為_。

【評(píng)注】平面向量的基本概念主要包括加減運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、定理運(yùn)算等，這些都是基本運(yùn)算，屬于基本考點(diǎn)，較為簡單。

題型二：平面向量的數(shù)量積

例2（江蘇卷·13）：如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上兩個(gè)三等分點(diǎn)，已知 =4, =-1，則 的值是_。

【評(píng)注】在江蘇高考試卷中，關(guān)于平面向量數(shù)量積的題型有很多，在解決該試題時(shí)，常用的方法主要有坐標(biāo)法、定義法、基底法這三種。如果使用定義法，那么必須要確定兩個(gè)向量的模及其夾角，但是由于在解題中使用該方法經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的困難，所以通常選擇坐標(biāo)法和基底法解決該類型的試題。

題型三：平面向量的幾何背景

例3（江蘇卷·18）：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x+60=0 及其上一點(diǎn)A（2,4）。

（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6 上，求圓N的坐標(biāo)方程；

（2）設(shè) 平 行 于OA的 直 線l與 圓M相 交 于B,C兩 點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；

【評(píng)注】在高考數(shù)學(xué)試卷中，該類型的平面向量題也很常見。在解決該試題時(shí)，可以將平面向量直接坐標(biāo)化，之后再轉(zhuǎn)化為方程完成解答；還可以將平面向量幾何化，對(duì)其幾何背景進(jìn)行有效分析。相比較這兩種解法，后者更簡單。

二、平面向量的復(fù)習(xí)策略

1.回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

第一，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)單位向量、相反向量、平行向量等平面向量知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)與概念定理有準(zhǔn)確的理解和掌握。

第二，引導(dǎo)學(xué)生深層次理解平面向量公式與運(yùn)算法則，并對(duì)其有充分掌握。

第三，在復(fù)習(xí)過程中對(duì)平面向量試題的解答方法和規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，并引導(dǎo)學(xué)生有效運(yùn)用解答方法完成試題的解答。

2.提煉總結(jié)，提升運(yùn)用平面向量知識(shí)解決問題的能力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解答中，指路明燈就是數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想包括數(shù)學(xué)知識(shí)從發(fā)生到發(fā)展再到應(yīng)用的整個(gè)過程，其也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效體現(xiàn)。學(xué)生是否具有良好的數(shù)學(xué)思想，直接影響其對(duì)高考數(shù)學(xué)試題的解答成效。因此，數(shù)學(xué)教師在具體復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的總結(jié)和提煉，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。其中一個(gè)重要的思想就是基底思想，任何兩個(gè)非零向量a和b都可以組成一組基底，其實(shí)就是對(duì)一個(gè)坐標(biāo)系的構(gòu)建，任何一個(gè)向量c都可以表示成c=λa+μb，而向量c在基底a，b上的坐標(biāo)就是（λ，μ），這就在極大程度上豐富了平面向量問題的解決方法。因此，在平面向量復(fù)習(xí)中，教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，使學(xué)生形成良好的運(yùn)用平面向量解決實(shí)際問題的思想。

3.加強(qiáng)能力訓(xùn)練，注重反思

在高考數(shù)學(xué)試題命題中，一個(gè)重要因素就是“選拔性”，這也表明高考數(shù)學(xué)試題重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。那么，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要如何提高？這就需要教師在復(fù)習(xí)中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練，同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)中不斷反思自己。弗賴登塔爾曾經(jīng)說過，“數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心動(dòng)力就是反思”，也就是說，反思推動(dòng)著數(shù)學(xué)思想的發(fā)展。數(shù)學(xué)教師在復(fù)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到這種問題：這種類型的試題明明已經(jīng)講了很多遍，但是學(xué)生就是不會(huì)做。之所以出現(xiàn)這種問題，主要是因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)中缺乏自我反思和感悟。學(xué)生數(shù)學(xué)能力就是在問題的不斷分析和轉(zhuǎn)化中形成的，并在反思、感悟、內(nèi)化、運(yùn)用中實(shí)現(xiàn)提高。

4.跳出題海，培養(yǎng)素養(yǎng)

在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，完成一定數(shù)量的習(xí)題訓(xùn)練是必須的，但是很多教師由此陷入了“題海訓(xùn)練”中，讓學(xué)生盲目地完成大量的練習(xí)題。這種復(fù)習(xí)方式是錯(cuò)誤的、不可取的，教師在試題訓(xùn)練中要注意“一題多變”“一題多解”的訓(xùn)練，走出“題海戰(zhàn)術(shù)”，通過對(duì)試題的變式訓(xùn)練提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維與運(yùn)算能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

綜上所述，在高考復(fù)習(xí)中，教師要掌握知識(shí)點(diǎn)的考題類型，并對(duì)其進(jìn)行深入分析，在掌握試題考查方向、命題意義的基礎(chǔ)上開展復(fù)習(xí)教學(xué)，有效提高復(fù)習(xí)質(zhì)量。