一類四次系統(tǒng)的細中心和局部臨界周期分支

古結(jié)平 廖笑照 陸麗萍

摘 要： 探討了一類四次多項式微分系統(tǒng)的細中心和局部臨界周期分支問題。首先運用復(fù)變換將實系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的伴隨復(fù)系統(tǒng)，而后針對伴隨復(fù)系統(tǒng)建立原點的周期常數(shù)遞推公式。利用得到的遞推公式來編寫程序，在中心條件下計算該系統(tǒng)的前幾個周期常數(shù)，得到該系統(tǒng)原點成為m（m=0，1，2）階細中心的條件，證明了該系統(tǒng)原點最多有2個局部臨界周期分支。

關(guān)鍵詞： 四次多項式系統(tǒng);周期常數(shù);細中心;臨界周期分支

中圖分類號：O175.12? 文獻標識碼：A

Weak Centers and Local Bifurcation of Critical Periods for a Quartic System

Gu Jieping Liao Xiaozhao Lu Liping

School of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University GuangxiGuilin 541006

Abstract： The weak centers and local bifurcation of critical periods for a quartic polynomial differential system are investigated.Firstly，the real system is transformed into the corresponding accompany complex system by using complex transformation，and then the recursion formulas of periodic constant is established for the origin of accompany complex system.Using the recursion formulas，the program is written，and the first three periods constant are calculated under the center condition.The condition that the origin of the system becomes the weak center of m（m=0，1，2）order is obtained.It is proved that the origin of the system has at most two local bifurcation of critical periods.

Key words： quartic polynomial differential system;periods constant;weak center;bifurcation of critical periods

1989年，Chicone和Jacobs[1]類比Bautin研究極限環(huán)的方法，引入細中心和局部臨界周期分支概念，建立局部臨界周期分支理論，在該文中還研究了二次Bautins系統(tǒng)和一類Hamiltonian系統(tǒng)的局部臨界周期分支問題。三十多年來，這一領(lǐng)域特別是系統(tǒng)從細中心最多能分支出幾個局部臨界周期的問題吸引了大量研究者的興趣。例如，文獻[2]中研究了一類三次約化Kukles系統(tǒng)在非退化中心鄰域的局部臨界周期分支問題，得到從有限階Christopher-Lloyd中心最多能分支出3個局部臨界周期，從線性等時中心最多能分支出2個局部臨界周期以及從非線性等時中心最多能分支出1個局部臨界周期。文獻[3]中研究了一類帶有三次阻尼項的Liénard方程在非退化中心鄰域的局部臨界周期分支，證明得到從有限階細中心和線性等時中心最多能分支出2個局部臨界周期，從非線性等時中心最多能分支出1個局部臨界周期。文獻[4]考慮了一類三次Kolmogorov系統(tǒng)的局部臨界周期分支問題，得到該系統(tǒng)從原點最多能分支出2個局部臨界周期。文獻[5]證明了一類三次廣義Riccati系統(tǒng)從細中心最多能分支出3個局部臨界周期。

最近，文獻[6]研究了如下四次多項式微分系統(tǒng)的中心條件和小振幅極限環(huán)分支問題，計算出了該系統(tǒng)原點的前8個焦點量，得到原點成為中心的充分必要條件以及從原點最多可分支出8個小振幅極限環(huán)的結(jié)果。

由上述定理，我們有：

定理 2.3 對于系統(tǒng)的參數(shù)λ*，若λ*∈K0，則沒有局部臨界周期從系統(tǒng)的原點分支出來;若λ*∈Km（m=1，2），則至多有m個局部臨界周期從系統(tǒng)的原點分支出來;此外，對任意正整數(shù)n（0

SymbolcB@ n

SymbolcB@ m），恰好有n個局部臨界周期從系統(tǒng)的原點分支出來。

證 由引理1.1可知，定理2.3的前半部分結(jié)論是顯然的。對于后半部分結(jié)論，我們只證明n=2的情形，即證周期常數(shù)P2，P4在參數(shù)λ*∈K2關(guān)于P6是無關(guān)的。其余情形證明方法類似。

當B31≠-1，A12=-B21=1/（1+B31），A21=-B12，A31=0，μ=0時，由式得P2=-2πB12，P4=- 2πB31 （1+B31）2 ，P6=4π。

取λ*∈K2，即λ*=（A12，A21，A31，B12，B21，B31，μ）=（1，0，0，0，-1，0，0）V（P2，P4），在λ*的任一鄰域U，存在λ1=（ 1 1+ε1 ，0，0，0，- 1 1+ε1 ，ε1，0）∈UV（P2），其中ε1>0充分小，使得P4（λ1）P6（λ1）=- 8ε1π2 （1+ε1）2 <0，即滿足定義1.3的條件（1）和（2）。再取λ2=（ 1 1+ε2 ，0，0，0，- 1 1+ε2 ，ε2，0）∈V（P2）且P4（λ2）≠0，其中ε2>0，在參數(shù)λ2的任一鄰域W，存在λ3=（ 1 1+ε2 ，δ，0，-δ，- 1 1+ε2 ，ε2，0）∈W，這里δ>0充分小，使得P2（λ3）P4（λ2）=- 4δε2π2 （1+ε2）2 <0，即滿足定義1.3的條件（3）。

綜上過程，滿足定義1.3的條件，故P2，P4在λ*∈K2關(guān)于P6是無關(guān)的。由引理1.1可知，系統(tǒng)恰好有2個局部臨界周期從原點分支出來。

參考文獻：

[1]Chicone C，Jacobs M.Bifurcation of critical periods for plane vector fields[J].Transactions of the American Mathematical Society，1989，312.

[2]Rousseau C，Toni B.Local bifurcations of critical periods in the reduced Kukles system[J].Canadian Journal of Mathematics，1997，49（02）：338-358.

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[5]Romanovski V G，F(xiàn)ernandes W，Tang Y，et al.Linearizability and critical period bifurcations of a generalized Riccati system[J].Nonlinear Dynamics，2017.

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基金項目： 廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目（YCSW2020105）

*通訊作者： 古結(jié)平（1996—），男，廣西南寧人，碩士。