從迪厄多內的書中窺見數學

張青霞

【摘 要】《當代數學：為了人類心智的榮耀.》該書作者讓·迪厄多內是著名數學家，布爾巴基學派的代表人物之一。本書是特地為這樣一些讀者寫的：他們由于各種原因對科學感興趣，但不是職業數學家。雖然這些人喜歡閱讀和聽取關于自然科學的講解，并感到從這些講解中獲得了知識，開闊了眼界，但他們發現關于當代數學的文章都是用無法理解的行話寫就，而且討論的概念過于抽象，使人趣味索然。本書的目的是試圖解釋這種對數學缺乏理解的現象的原因，并試圖打破這種隔閡。

【關鍵詞】布爾巴基學派;數學史;數論;科普

大家知道，數學是2+3=5這樣一門抽象的科學。例如：“兩頭牛加三頭牛等于五頭牛”，“兩棵樹加三棵樹等于五棵樹”，人類第一個偉大的數學家正是從這類具體的事實概括出了這樣一個達四海亙古今、囊括宇宙萬物的偉大的抽象公式：2+3=5，它好比是說：“兩只空筐加三只空筐等于五只空筐?！笨鹱拥摹翱铡?，是為了能隨意裝進天地間萬物。如果只能裝一樣東西，倒不出來，那數學的用處就極有限了。

在迪厄多內的書中是這樣開頭的“數學在人類活動中所占的地位是自相矛盾的.當今發達國家中幾乎每個人都知道，數學是一門重要學科，大多數科學技術分支都用得著它，而且比以往任何時候都要多的職業，如果沒有某些數學知識，就無法從事然而，如果你問‘數學是什么？’或問‘數學家做些什么？’，那么除了荒唐可笑的回答外，你幾乎會一無所獲，除非你的對話者至少經歷過大學二年級的數學訓練即使別的科學領域里的著名專家，對于數學家的工作也往往只有一些反常的看法。由于每個人都是在上小學時通過數字演算接觸數學的，所以傳播最廣的看法是，數學家就是從事這些演算的內行里手隨著電子計算機及其語言的出現，人們現在會認為這意味著數學家就是特別善于為這些演算“編制程序”的人，他們整天做的就是這件事情.工程師們老是在尋找他們感興趣的量的最優值，他們把數學家看作儲藏公式的倉庫保管員，應他們的要求為他們把數學家看作儲藏公式的倉庫保管員，應他們的要求為他們提供所需的公式但是眼下由于媒體大量報導別的科學部門所取得的進展，因此幾乎所有當代人都堅定地持有這樣一種最能導致誤解的看法，即數學學科已不再有什么東西可以去發現，數學家們的工作只能限于把以往年代的遺產傳下去?！?/p>

因此，我們可以看出他當時撰寫這本書的本意和急于和大家分享數學知識的心理。

數學追求一種完全確定、完全可靠的知識。在這本小書里可以看到許多被吸引到數學中來的人正是因為數學有這樣的特點。例如說，歐幾里得平面上的三角形內角和為180°，這絕不是說“在某種條件下”，“絕大部分”三角形的內角和“在某種誤差范圍內”為180°，而是在命題的規定范圍內，一切三角形的內角和不多不少為180°。產生這個特點的原因可以由其對象和方法兩個方面來說明。從希臘的文化背景中形成了數學的對象并不只是具體問題，數學所探討的不是轉瞬即逝的知識，而是某種永恒不變的東西。所以，數學的對象必須有明確無誤的概念，而且其方法必須由明確無誤的命題開始，并服從明確無誤的推理規則，借以達到正確的結論。通過純粹的思維竟能在認識宇宙上達到如此確定無疑的地步，當然會給一切需要思維的人以極大的啟發。人們自然會要求在一切領域中都這樣去做。正是因為這樣，而且也僅僅因為這樣，數學方法既成為人類認識方法的一個典范，也成為人在認識宇宙和人類自己時必須持有的客觀態度的一個標準。這樣一種求真的態度，傾畢生之力用理性的思維去解開那偉大而永恒的謎――宇宙和人類的真面目，這樣一種求真的態度是人類文化發展到高度的標志。

數學作為人類文化組成部分的另一個特點是它不斷追求最簡單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下進行的。這是一種化繁為簡以求統一的過程。從古希臘起，人們就有一個信念：冥冥之中最深處宇宙有一個偉大的、統一的、而且簡單的設計圖，這是一個數學設計圖。

數學的再一個特點是它不僅研究宇宙的規律，而且也研究它自己。在發揮自己力量的同時又研究自己的局限性，從不擔心否定自己，而是不斷反思、不斷批判自己，并且以此開辟自己前進的道路。它不斷致力于分析自己的概念，分析自己的邏輯結構。它不斷地反思：自己的概念、自己的方法能走多遠？從希臘時代起，畢達哥拉斯認為宇宙即數（他是指自然數），可是遇到了無理數，后來的希臘人只好采用不可公度理論，因為弄不清，就干脆不講無理數，而討論一般的線段長。希臘人甚至不講數，使希臘數學與其他民族——例如中國——相比呈現了缺點。但即令如此，也要保持高度嚴整，而不允許采取折衷主義的態度。歷史終于證明，正是希臘人開辟了研究無理數系的道路。他們研究數學，卻同時考慮數學研究的對象是否存在。大家都說，數學最需要嚴格性，數學家就要問什么叫嚴格性？大家都說，數學在證明一串串的定理，數學家就要問什么叫證明？數學越發展，取得的成就越大，數學家就越要問自己的基礎是不是鞏固。越是在表面上看來沒有問題的地方，越要找出問題來。

到了最后，數學開始懷疑起自己的整體，考慮自己的力量界限何在。大概是到了19世紀末年，數學向自己提出的問題是：“我真是一個沒有矛盾的體系嗎？我真正提供了完全可靠、確定無疑的知識嗎？我自認為是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么？我證明了某些對象的存在，或者說我無矛盾地創造了自己的研究對象，可是它們確實存在嗎？如果我不能真正地把這些東西構造出來，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一張空頭支票，一張沒有銀行的支票呢？”

總之，數學是一株參天大樹，它向天空伸出自己的枝葉，吸收陽光。它不斷擴展自己的領地，在它的樹干上有越來越多的鳥巢，它為越來越多的學科提供支持，也從越來越多的學科中吸取營養。它又把自己的根伸向越來越深的理性思維的土地中，使它越來越牢固地站立。從這個意義上來講，數學是人類理性發展最高的成就之一。

數學作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達了一種探索精神。其永恒的主題是“認識宇宙，也認識人類自己”。在這個探索過程中，數學把理性思維的力量發揮到極致。歷史已經證明，而且將繼續證明，一種沒有相當發達的數學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數學作為一種文化的民族也是注定要衰落的。

傅里葉先生認為，數學的主要目的是服務人類、解釋自然現象;但像他這樣的哲學家應當知道，科學的唯一目的是為了人類心智的榮耀， 因此，一個關于數的問題與一個關于宇宙體系的問題具有同樣的意義。

《當代數學：為了人類心智的榮耀.》該書作者簡介

讓·亞歷山大·歐仁·迪厄多內（1906-7-1-1992-11-29），法國數學家。生于里爾，卒于巴黎。1924～1927年在巴黎高等師范學校學習，1931年獲博士學位。1933～1937年任雷恩大學講師。1937～1946年任南錫大學教授，后在巴西及美國大學工作。1958年任法國高等科學研究院教授。1970年任尼斯大學教授。1968年當選法國科學院院士。迪厄多內是布爾巴基學派的創始人之一，迪厄多內的研究領域十分廣闊，涉及一般拓撲學、抽象代數、典型群、形式群、泛函分析、復分析、代數幾何以及數學史等諸多領域，都有重要貢獻。

【參考文獻】

[1] C·G·J雅可比. Gesammelte Werke（全集）， 第1卷，柏林（ Reimer），1881.

[2] 迪厄多內.當代數學 ： 為了人類心智的榮耀.上海教育出版社.1999.07.01.