機(jī)械制圖中已知切點(diǎn)的圓弧連接

嚴(yán)霞

摘要：在機(jī)械制圖中，圓弧連接存在兩種情況，第一種情況是已知連接弧半徑，求作圓弧連接;第二種情況是已知一個(gè)切點(diǎn)，連接弧半徑未知，求作圓弧連接。根據(jù)“已知線段”的不同，將第二種情況中的圓弧連接分為三種類型，分別對三種類型的圓弧連接作圖方法和步驟進(jìn)行了研究，歸納出已知切點(diǎn)時(shí)運(yùn)用“三步法”作圓弧連接的方法，并舉例應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：圓弧連接;幾何作圖;已知切點(diǎn)

1? 圓弧連接的另一種情況

在《機(jī)械制圖》課程教學(xué)中，圓弧連接是幾何作圖部分的重點(diǎn)內(nèi)容。圓弧連接存在兩種情況，第一種情況是已知連接弧半徑，求作圓弧連接。對于這一種情況，我們通常采用“求圓心、找切點(diǎn)、作圓弧”三步來作出連接弧，詳細(xì)作圖步驟可參見《機(jī)械制圖》中幾何作圖（尺規(guī)作圖）相關(guān)章節(jié)，這里不再贅述。第二種情況是已知一個(gè)切點(diǎn)（連接弧半徑未知），求作圓弧連接。如圖1所示，左上方連接圓？準(zhǔn)14和圓弧R39的連接弧半徑未知，但連接弧與圓？準(zhǔn)14的公切線方向?yàn)橐阎匆阎粋€(gè)切點(diǎn)，求作圓弧連接。這一種情況在企業(yè)零件測繪中也常會遇到，由于《機(jī)械制圖》教材中沒有對這一種情況中的圓弧連接作圖方法和步驟進(jìn)行詳細(xì)介紹，同學(xué)們遇到這一類作圖題目時(shí)往往束手無策，經(jīng)過冥思苦想后，也只有屈指可數(shù)的幾位同學(xué)能夠作出正確解答。本文重點(diǎn)探索這一種情況中的圓弧連接，下文中的“圓弧連接”也僅指此情況中的圓弧連接。

要作出圖1中圓？準(zhǔn)14和圓弧R39的連接弧，必須先求出連接弧的圓心。由于平面上的一個(gè)點(diǎn)是由兩個(gè)坐標(biāo)值確定的，即要知道兩個(gè)條件才能求出一個(gè)點(diǎn)。本題中已知圓弧連接的一個(gè)切點(diǎn)，即只知道一個(gè)有效條件，所以不能直接求出連接弧的圓心，故采用“求圓心、找切點(diǎn)、作圓弧”三步不能作出連接弧。我們來探索采用“找切點(diǎn)、求圓心、作圓弧”這三步來作連接弧，這里的“找切點(diǎn)”是指找連接弧與另一已知線段（直線或圓弧）的切點(diǎn)。

圓弧連接中的“已知線段”既可以是像圖1中的兩圓弧，也可以是兩直線，還可以是一直線和一圓弧。我們可以根據(jù)“已知線段”的不同，將圓弧連接分成三種類型。類型一：圓弧連接兩相鄰已知直線;類型二：圓弧連接兩相鄰已知圓弧;類型三：圓弧連接兩相鄰已知直線和圓弧。為便于討論，我們將已知切點(diǎn)記作K1，另一切點(diǎn)記作K2;已知切點(diǎn)K1所在的線段稱作第一線段，另一已知線段稱作第二線段;第一線段如果是圓弧，其圓心記作O1，半徑為R1;第二線段如果是圓弧，其圓心記作O2，半徑為R2;連接弧的圓心記作O，半徑為R。

2? 圓弧連接兩相鄰已知直線

如圖2所示，用一段圓弧光滑地連接兩相鄰直線AE和CE，點(diǎn)K1和點(diǎn)K2為切點(diǎn)（連接點(diǎn)）。分別過點(diǎn)K1作直線AE的垂線和過點(diǎn)K2作直線CE的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為連接弧的圓心，OK1=OK2=R;連接點(diǎn)O和點(diǎn)E，在Rt△OK1E和Rt△OK2E中，OE=OE，OK1=OK2，根據(jù)定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等”可得Rt△OK1E≌Rt△OK2E，所以K1E=K2E，即圓弧連接兩相鄰已知直線時(shí)，兩切點(diǎn)到兩直線交點(diǎn)的距離相等。

如表1所示，已知兩相鄰直線AB和CD及直線AB上的一個(gè)切點(diǎn)（連接點(diǎn)）K1，求作圓弧連接。根據(jù)以上分析，我們歸納出圓弧連接兩相鄰已知直線的作圖方法和步驟，說明如下：

①找切點(diǎn)。延長兩已知直線相交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，EK1為半徑，作圓弧交第二線段于點(diǎn)K2，點(diǎn)K2即為所求另一切點(diǎn)。②求圓心。分別過點(diǎn)K1和K2，作直線AB和CD的垂線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為連接圓弧的圓心。③作圓弧并描粗。以點(diǎn)O為圓心，OK1為半徑，作圓弧連接點(diǎn)K1和K2，描粗保留的已知線段和連接弧，圓弧連接完成。

3? 圓弧連接兩相鄰已知圓弧

我們先來看等腰梯形的一個(gè)性質(zhì)：等腰梯形的對角線相等。（圖3）

如圖3所示，等腰梯形ABCD的對角線分別為AC和BD，在△ADC和△BCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCD，DC=CD，根據(jù)基本事實(shí)“兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”可得△ADC≌△BCD，所以AC=BD，即等腰梯形的對角線相等。圓弧連接兩相鄰已知圓弧中就隱藏著一個(gè)等腰梯形，而“找切點(diǎn)”的關(guān)鍵就是找到這個(gè)等腰梯形。（圖4）

如圖4所示，半徑為R的圓弧光滑地連接著半徑分別為R1和R2的兩個(gè)圓。兩個(gè)圓（圓弧）相切，切點(diǎn)必在兩個(gè)圓心的連線上，我們把這條直線稱作連心線。連接圓心O和O1，與半徑為R1的圓弧相交于點(diǎn)K1，連接圓心O和O2，與半徑為R2的圓弧相交于點(diǎn)K2，點(diǎn)K1和點(diǎn)K2即為切點(diǎn)。在連心線OO1上從切點(diǎn)K1向圓心O1的方向截取另一圓弧的半徑R2，與連心線OO1相交于點(diǎn)E，即K1E=K2O2=R2。連接點(diǎn)K1和點(diǎn)K2，連接點(diǎn)E和O2，在等腰△K1OK2中，∠OK1K2=（180°-∠O）/2，在等腰△EOO2中，∠OEO2=（180°-∠O）/2，所以∠OK1K2=∠OEO2，根據(jù)基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”可得K1K2∥EO2，所以四邊形K1EO2K2便是隱藏在圓弧連接兩相鄰已知圓弧中的一個(gè)等腰梯形，其對角線K1O2=K2E。當(dāng)然，我們在作圓弧連接時(shí)，并不需要將這個(gè)等腰梯形的四條邊全部作出來。

根據(jù)以上分析，我們歸納出圓弧連接兩相鄰已知圓弧的作圖方法和步驟，如表2所示，說明如下：

①找切點(diǎn)。連接已知切點(diǎn)K1及相應(yīng)的圓心O1，當(dāng)連接弧與兩已知圓弧外切或內(nèi)切時(shí)，從切點(diǎn)K1向圓心O1的方向截取半徑R2，與直線K1O1相交于點(diǎn)E;當(dāng)連接弧與兩已知圓弧分別內(nèi)外切時(shí)，從切點(diǎn)K1向背離圓心O1的方向截取半徑R2，與直線K1O1相交于點(diǎn)E。以點(diǎn)E為圓心，以已知切點(diǎn)K1至圓心O2的距離為半徑，作圓弧交第二線段于點(diǎn)K2，點(diǎn)K2即為所求另一切點(diǎn)。

②求圓心。連接切點(diǎn)K2和圓心O2，延長后與直線K1O1相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為連接圓弧的圓心。

③作圓弧并描粗。以點(diǎn)O為圓心，以線段OK1為半徑，作圓弧連接點(diǎn)K1和K2，描粗保留的已知線段和連接弧，圓弧連接完成。

4? 圓弧連接兩相鄰已知直線和圓弧

用一段圓弧光滑地連接兩相鄰已知直線和圓弧，當(dāng)已知切點(diǎn)在圓弧上時(shí)，作圖方法和步驟如表3所示。在第一步“找切點(diǎn)”時(shí)，先連接已知切點(diǎn)K1和圓心O1，然后過已知切點(diǎn)K1作直線K1O1的垂線（已知圓弧的切線）與已知直線AB相交于點(diǎn)E，從而將此類問題轉(zhuǎn)化為圓弧連接兩相鄰已知直線的問題，后續(xù)作圖方法和步驟亦與上文中“圓弧連接兩相鄰已知直線”的作圖方法和步驟相同。

用一段圓弧來光滑地連接兩相鄰已知直線和圓弧，當(dāng)已知切點(diǎn)在直線上時(shí)，如果將直線理解為一個(gè)直徑無窮大的圓，此類問題就可以轉(zhuǎn)化為圓弧連接兩相鄰已知圓弧的問題了，作圖方法和步驟如表4所示。由于這里的“圓弧”直徑無窮大，所以在第一步“找切點(diǎn)”時(shí)，將原來的“先連接已知切點(diǎn)K1及相應(yīng)的圓心O1”改成“過已知切點(diǎn)K1作已知直線AB的垂線”就可以了，后續(xù)作圖方法和步驟亦與上文中“圓弧外切或內(nèi)切連接兩已知圓弧”的作圖方法和步驟相同。

5? 總結(jié)及實(shí)例

上面介紹的已知一個(gè)切點(diǎn)時(shí)三種不同類型的圓弧連接作圖方法，由于都是按照“找切點(diǎn)、求圓心、作圓弧”這三步來完成作圖的，我們將其稱作“三步法”作圓弧連接。根據(jù)以上分析，我們總結(jié)出“三步法”作圓弧連接的方法和步驟，其流程圖如圖5所示。

下面我們應(yīng)用“三步法”繪制圖1中連接圓？準(zhǔn)14和圓弧R39的連接?。ㄔ诶L制連接弧前，已完成圖1中其他線條的繪制，如圖6所示）。

連接弧與兩已知圓弧都是外切，屬于“圓弧外切連接兩已知圓弧”的類型，作圖方法和步驟如圖7所示，說明如下：

①找切點(diǎn)。從已知切點(diǎn)K1向圓心O1的方向截取另一已知圓弧的半徑39mm，與直線K1O1相交于點(diǎn)E;以點(diǎn)E為圓心，以已知切點(diǎn)K1至另一已知圓弧的圓心O2之間的距離為半徑，作圓弧交另一已知圓弧于點(diǎn)K2，點(diǎn)K2即為所求另一切點(diǎn)。

②求圓心。連接切點(diǎn)K2和圓心O2，與直線K1O1相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為連接圓弧的圓心。

③作圓弧并描粗。以點(diǎn)O為圓心，以線段OK1為半徑，作圓弧連接點(diǎn)K1和K2，描粗保留的已知線段和連接弧，圓弧連接完成。

同學(xué)們在學(xué)習(xí)了“三步法”作已知切點(diǎn)的圓弧連接后，遇到類似的題目再也不會抓耳撓腮、不知所措了，只要根據(jù)已知條件先確定一個(gè)切點(diǎn)（連接點(diǎn)）和連接類型，然后按照相應(yīng)類型的“找切點(diǎn)、求圓心、作圓弧”這三步就可以輕而易舉地完成作圖了。經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐，在對學(xué)生進(jìn)行以上作圖方法的詳細(xì)介紹后，能夠解決此類作圖問題的學(xué)生人數(shù)大幅提高，約85%的同學(xué)經(jīng)過簡單思考或提醒后能夠作出正確解答，教學(xué)質(zhì)量顯著提高。

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