動態平衡問題教學探討*
——對2017年高考全國卷Ⅰ理綜第21題的分析與教學思考

陳志軍

(安徽省績溪中學 安徽 宣城 245300)

動態平衡是物體平衡類問題的一種，這類問題中物體的受力有恒力，也有動態變化的力，即力的大小和方向均發生變化，往往給解題帶來困難，也是教學的一個難點.解決這類問題的一般思路是把“動”化為“靜”，“ 靜”中求“動”.這類問題比較多的集中在物體受到3個共點力而處于動態平衡，常常利用三力平衡的特點來討論.2017年高考全國卷Ⅰ理綜第21題就是此類典型的問題，下面對該題進行分析拓展，并對動態平衡問題的教學進行研究.

1 原題的解析

A．MN上的張力逐漸增大

B．MN上的張力先增大后減小

C．OM上的張力逐漸增大

D．OM上的張力先增大后減小

分析:本題的命題立意是考查三力動態平衡問題的求解和矢量三角形法則，要求學生有很高的利用數學知識解決物理問題的能力，對學生的要求比較高，這也要求我們在平時的教學過程中，要加強數學方法的運用，訓練一題多解、舉一反三，提高學生的發散性思維.

圖1 題圖

解析:

方法1:矢量圓法

以重物為研究對象，物體受到3個力，分別是重力mg,MN上拉力F1和OM繩上拉力F2.由題意知，3個力合力始終為零，將3個力的矢量組成如圖2所示的三角形，考慮到題目要求角度α不變，即要求力F1和F2的夾角不變，結合矢量三角形圖2可以看出力F1和F2的交點一定在以重力mg為弦對應的圓周上，利用矢量圓法可以看出，在F2轉至水平的過程中，MN上拉力F1逐漸增大(F2轉至水平水平時，F1達到最大值)，OM繩上拉力F2，先增大后減小，故選A,D.

圖2 矢量圓法分析圖

方法2:拉密定理或正弦定理

仍然以重物為研究對象，將重力mg,MN上拉力F1,OM繩上拉力F2，3個力組成矢量三角形，如圖3所示，各力之間的夾角已標出，由正弦定理得

圖3 正弦定理分析圖

本題α不變，β增大，γ從鈍角變化到銳角，因此sinβ增大，sinγ先增大后減小，根據上式可知MN上拉力F1逐漸增大，當β=90°時，F1達到最大值；OM繩上拉力F2先增大后減小.

2 動態平衡問題的教學方法探討

2.1 解析法

解析法經常用于繩直接拉物體或跨過光滑滑輪拉物體，處理時要先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，假設一個角度，利用三力平衡或正交分解得到拉力的解析方程式，確定所求力與所設角度的三角函數關系，利用角度的動態變化研究三角函數的變化，可清晰得到力的變化情況.

【例1】人站在岸上，通過光滑的定滑輪用繩牽引河中的小船，如圖4所示，若水的阻力不變，則船在勻速靠岸的過程中，下列說法中正確的是( )

A.繩的拉力F不斷增大

B.繩的拉力F保持不變

C.船受到的浮力保持不變

D.船受到的浮力不斷減小

E.小船受的合力不斷增大

圖4 例1題圖

解析:利用解析法，對勻速運動的船受力分析，船受到重力mg，拉力F，浮力F浮和阻力f，運用正交分解，可以得到：

水平方向

Fcosθ=f

豎直方向

Fsinθ+F浮=mg

船在勻速靠岸的過程中，θ角增大，所以sinθ增大,cosθ減小，又因為重力mg和阻力f不變，因此拉力F增大，浮力F浮減小.

2.2 矢量三角形圖解法

矢量三角形圖解法適用于物體所受的3個力中，有一個力的大小、方向均不變(通常為重力)，另一個力的方向不變，大小變化，而第3個力則大小、方向均發生變化的問題.教學中應先讓學生正確分析物體所受的3個力，將3個力的矢量首尾相連組成封閉的三角形.然后將方向不變的力的矢量延長，根據第3個力的變化情況畫出變化后的矢量三角形，比較這些不同形狀的矢量三角形，各力的大小及變化情況就很清楚了.

【例2】如圖5所示，一個勻質球放在光滑斜面上，斜面傾角為α，在斜面上有一光滑的不計厚度的木板擋住球，使之處于靜止狀態．今使板與斜面的夾角β緩慢增大，在此過程中，擋板對球的壓力F1和斜面對球的支持力F2的大小如何變化？

圖5 例2題圖

圖6 矢量三角形法分析例2

解析:本題可以用解析法列方程根據三角函數判斷，但非常復雜，計算量大，可采用矢量三角形圖解法，如圖6所示.

將重力mg,擋板對球的壓力F1和斜面對球的支持力F2組成一個三角形，重力的大小和方向不變，斜面對球的支持力F2的方向不變，在增大β角的過程中，可以很明顯地看出斜面對球的支持力隨β增大而減小；擋板對球的支持力先減小后增大，而且在β=90°，即擋板與斜面垂直時，擋板對球的支持力最小.

2.3 相似三角形

如果物體所受的3個力中，一個力大小、方向不變，其他兩個力的方向均發生變化，且3個力中沒有二力保持垂直關系，可以利用相似三角形，找到力的矢量三角形和幾何三角形相似來解決問題.先分析物體的受力，將3個力的矢量首尾相連組成一個力的三角形，再尋找與力的三角形相似的幾何三角形，利用力的三角形與幾何三角形相似，建立比例關系，把力的大小變化問題轉化為幾何三角形邊長的大小變化問題進行討論.

【例3】如圖7所示，一個重為mg的小環，套在豎直放置的半徑為R的光滑大圓環上．有一勁度系數為κ，自然長度為L(L<2R)的輕彈簧，其上端固定在大圓環的最高點A，下端與小環相連，不考慮一切摩擦，則小環靜止時彈簧與豎直方向的夾角θ為多大？

圖7 例3題圖

解析:將重力mg,彈簧拉力F,圓環對小環的支持力FN組成一個有關力的矢量三角形，如圖8所示，根據幾何知識，可以在圖中找到一個幾何三角形與其相似，根據相似三角形的性質，有

圖8 相似三角形分析例3

可解得

所以

2.4 矢量圓法

矢量圓法，即作輔助圓，適用該方法的問題類型可分為兩種，第1種情況是3個力中其中一個力大小、方向不變，另兩個力方向夾角不變，第2種情況是3個力中其中一個力大小、方向不變，有一個力大小不變、方向改變.第1種情況在運用矢量圓法時，以不變的力為弦作個圓，利用同一條弦對應的圓周角相等，在輔助的圓中很容易畫出兩力夾角不變的力的矢量三角形，從而輕易判斷各力的變化情況.2017年高考全國卷Ⅰ理綜第21題就是這種情況.第2種情況應以大小不變、方向變化的力為半徑作一個輔助圓，在輔助的圓中畫出其中一個力大小不變、方向改變的力的矢量三角形，從而輕易判斷各力的變化情況.

【例4】如圖9所示，在“驗證力的平行四邊形定則”實驗中，用A，B兩只彈簧測力計把像皮條上的結點拉到某一位置O，這時兩繩套AO和BO的夾角∠AOB小于90°，現保持彈簧測力計A的示數不變而改變其拉力方向使α角減小，那么要使結點仍在位置O，就應調整彈簧測力計B的拉力大小及β角，則下列調整方法中可行的是( )

A.增大B的拉力，增大β角

B. 增大B的拉力，β角不變

C.增大B的拉力，減小β角

D.B的拉力大小不變，增大β角

圖9 例4題圖

解析:將像皮條對結點O的拉力T，彈簧測力計A的拉力TA，彈簧測力計B的拉力TB組成三角形，在保持像皮條對結點O的拉力T不變的前提下，以彈簧測力計A的拉力TA為半徑畫矢量圓，改變其方向使α角減小，做出矢量三角形，如圖10所示，從圖形上可以直接得出結論.

圖10 矢量圖法分析例4

2.5 多力動態平衡轉化為三力動態平衡

很多物體的平衡不僅僅局限于三力的匯交情形，涉及到多個力的平衡，往往這些問題的解決需要引入摩擦角等，將力的平衡問題轉化為三力動態平衡的幾何問題進行處理.

【例5】一質量為m的物體置于傾角為α的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，若要使物體沿斜面向上勻速滑行，求拉力的最小值.

解析:教學中對本題常用的處理方法是根據平衡條件，假設拉力與斜面的夾角為θ，利用正交分解得到函數F=F(θ)，再求極值，但運用這種方法，計算過程非常繁瑣，并且要利用三角函數的推導、變換求解，對數學知識的要求很高.我們可以換一種教學思路.引入全反力，化四力平衡為三力平衡，根據矢量三角形求解.用全反力R代替支持力和摩擦力，則

物體只受到重力mg,拉力F,全反力R，如圖11所示，摩擦角φ=arctanμ，由矢量三角形和三力動態平衡可知,當F垂直于全反力時，拉力F最小，此時最小值為

圖11 多力動態平衡轉化為三力動態平衡

可以看出，引入摩擦角的好處就是通過全反力的等效替代，減少力的個數，化多力平衡為三力平衡，通過矢量三角形迅速確定臨界平衡狀態，把平衡問題的判斷轉化為尋求角度之間的關系，這是求解多力平衡的重要思想方法.

3 結束語

在教學過程中，通過對上述高考題的分析，引導學生充分利用解析法、矢量三角形圖解法、相似三角形、矢量圓、拉密定理或正弦定理解決動態平衡問題，結合動畫展示動態變化過程，可有效提高學生利用數學工具處理物理問題的能力，促進發散性科學思維的培養，有效提高學生的核心能力和創新思維能力，落實核心素養.