淺析韋達定理在中學數學中的應用實踐

馮帆

在新世紀中學數學的教學中，越來越多的人關注利用創新思維來解決問題，其中化歸思想方法在解決數學問題中起到了不可替代的作用。其中韋達定理就是其數學思想方法中一個重要的定理，韋達定理貫穿中學數學整個學習過程，韋達定理能夠描述根與系數之間的關系，韋達定理能夠在代數，幾何等方面應用廣泛，韋達定理能夠提高學生的邏輯思維能力以及巧妙解決問題的能力，韋達定理在解決方程，函數，數列以及幾何圖形方面起到了不可或缺的地位。

1韋達定理在方程中的應用

韋達定理主要解決的是根與系數之間的關系，例如，在一元二次方程中，我們可以利用韋達定理來快速解決根的問題，在一元二次方程的方程中首先考慮的是根是否存在的問題，此時，我們需要重新考慮，即利用大于或等于0來判斷一元二次方程是否存在兩個實數根，利用韋達定理的前提條件是需要，此時我們再利用韋達定理，根據給定的條件來完成根的求解。

2韋達定理在函數中的應用

2.1韋達定理能夠巧妙地解決函數交點的問題

在中學數學教學中，有不少學生會因為兩函數相交求交點等的問題而困惑，我們可以通過韋達定理來巧妙解決兩函數相交的交點問題，例如，我們采用二次函數與一次函數相交這一類問題來巧妙說明說明利用韋達定理的簡便性。

我們以二次函數與一次函數相交為例，例如，與兩個函數相交，求這兩個函數的相交的兩坐標的中點坐標。

在中學代數研究中，將函數歸納為多項式、方程整合起來的形式，在某種意義上說，函數是一種特殊的方程，通過將兩個特定函數的相交轉為為一元二次方程，此時利用韋達定理能夠快速解出函數相交中點的準確坐標，能夠簡便運算，韋達定理在函數相交等一系列問題上做出了不可或缺的貢獻。

2.2韋達定理與三角函數的綜合應用

韋達定理能夠巧妙的處理三角函數之間與代數之間的變量關系，通過三角函數之間正弦與余弦變換建立等式，再通過合適的條件下，然后利用韋達定理進行求解。

通過上述例題與具體的解析，我們可以看出來，此類題目需要利用韋達定理的熟練應用與正弦余弦之間的相互轉換，需要學生具有較強的發散思維與邏輯思維能力。

3韋達定理在某些特定數列中的應用

利用韋達定理可以解決某些特定數列的通項和證明等一系列的問題，韋達定理在一定條件下使某些特定的數列化繁為簡，使問題變得更加簡單明了。對于遞推數列，要巧妙利用韋達定理，將其轉化為必須符合一元二次方程的結構，這就要求遞推式的結構必須滿足連續兩項的對稱二次項結構。

通過觀察遞推式有二次和對稱的特點，根據這些特點進行對遞推式進行不同的變形與整理。再通過改變數列腳標的數值使結構符合一元二次方程的結構，然后再利用韋達定理進行簡便的運算。

4韋達定理能夠簡便幾何中的數值運算

韋達定理在幾何中廣泛應用，在求解直線與幾何圖形所截得的弦長公式中廣泛應用，在橢圓（雙曲線或者拋物線）與直線交點為。則或者

在解決圓錐曲線問題中的中點弦問題，一般采用根與系數的關系法：首先將直線方程代入到圓錐曲線的方程中，經過整理消元可以得到方程，此時方程若為一元二次方程，則可以利用韋達定理進行簡便運算，通過根與系數之間的關系與中點坐標公式建立等式進行求解。再通過圓錐曲線方程與直線方程消元得到方程，此時要判斷聯立的方程是否符合利用韋達定理前提條件，首先要判斷是否為一元二次方程，在判斷二次項系數是否為0，之后在進行簡便運算。

總之，運用韋達定理能夠可以快速求出兩個方程根之間的關系，能夠在方程，函數，數列，平面幾何等方面有著體現，運用韋達定理可以提高學生的創新能力與創造能力以及綜合分析數學的能力。

參考文獻

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