直線“系”進化的收獲

樂加靈

摘要：曲線系的方程思想可以大大減少計算量，但是學生不容易理解，更加不會應用，筆者就從幾個簡單的曲線系著手，讓同學們感受“系”的魅力，最后來一個應用。

關鍵字：系;直線系;圓系;曲線系;四點共圓

一、最初的直線“系”：過定點的直線系方程

過定點 的直線系方程：

二、直線“系”的演變：過兩直線交點的直線系方程

過直線 ： （ 不同時為0）與 ： （ 不同時為0）交點的直線系方程為：? （ ， 為參數）

三、直線“系”的進化：代表兩條直線方程的系

的曲線方程為

例3、已知橢圓 的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點 在橢圓 上

（1）求橢圓 的方程;

（2）設不過原點 且斜率為 的直線 與橢圓 交于不同的兩點 ，直線 ，直線 與橢圓 交于 ，證明：

（1）易方程為：

（2）分析：由證明結論可知只要證明 四點共圓再利用圓冪定理可得，即證明 兩條直線與橢圓的交點四點共圓.

設 即 由

∴ ，可設 ，利用“系”的思想，可設出曲線系

， 時推出 代表圓，所以 ，由圓冪定理可得

從此題中我們可以發現“系”的思想可以大大減少計算量，筆者將第二小題變式.

變式1、 兩條相交直線與橢圓 交于 四點交點為 ，且兩直線且斜率為相反數，證明：

也可以用系的思想：設：

則曲線系為： ，只需 該方程也可以演變成一個圓的方程同理得出 .筆者在此基礎上再次變式.

變式2、將橢圓 改為橢圓的一般式，其余條件與變式1相同;

變式3、將橢圓的一般式改為雙曲線一般式，其余條件與變式1相同;

變式4、將雙曲線的一般式改為拋物線一般式，其余條件與變式1相同;

以上幾個變式都可以用“系”的思想容易證出四點共圓.

變式5、如果四點共圓能不能反過來證明斜率互為相反數

我們就以原題的橢圓為例就此證明

∵四點共圓，所以圓的方程為：

曲線系為 要讓

寫出 ，即可推出 ，∴兩條直線斜率互為相反數.

同理可證明雙曲線，拋物線也成立.

∴根據直線系我們得到一個意外的收獲

兩條直線與圓錐曲線交于四點，若果兩條直線斜率互為相反數，則四點共圓;若四點共圓則兩條直線寫率互為相反數。

參考文獻：

[1]蔡小雄，更高更妙的高中數學思想與方法[M].浙江：浙江大學出版社，2018.179-188