探究2020年武漢市中考網格作圖題

劉利城

摘要：2020年武漢市中考試卷第20題，是一道無刻度直尺網格作圖題。本文通過新課程標準解讀網格作圖的背景，并對該題進行探究，從不同的角度對該題的第（3）問提出了四種不同的解法。在此基礎上進一步思考，在網格中如何過線外一格點作已知直線的對稱點。并提出了平時教育教學中學生需要掌握九大網格作圖基本技能。

關鍵字：無刻度直尺;網格作圖;對稱;解法探究

一、網格作圖背景解讀

初中階段，網格圖最早出現在人教版課本七年級下“平面直角坐標系”里。網格中的幾何作圖題是天津市近幾年探索的新題型，具有立意新穎、綜合性強、思維含量高等特點，能有效的考查學生的數學核心素養。在2019年武漢市四月調考中，武漢市也引入了網格幾何作圖題，從此網格作圖題在中考正式登場，在中考考題中的網格幾何作圖題只允許用無刻度的直尺來進行作圖。本文筆者以2020年武漢市中考數學試卷第20為例進行拓展研究，以期拋磚引玉。

二、試題呈現

在8×5的網格中建立如圖的平面直角坐標系，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）.僅用無刻度的直尺在給定網格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題：

（1）將線段CB繞點C逆時針旋轉90°，畫出對應線段CD;

（2）在線段AB上畫點E，使∠BCE=45°（保留畫圖過程的痕跡）;

（3）連接AC，畫點E關于直線AC的對稱點F，并簡要說明畫法.

三、解法探究

（1）直接旋轉可得，如圖1

（2）思路：由（1）可知 ABC是等腰直角三角形，要作∠BCE=45°，即作∠BDC的角平分線。由等腰三角形三線合一知，取BD的中點即可。

作圖方法：如圖2取格點M、N，連接MN交BD于點H，連CH交AB于點E，E點即為所求。

證明：∵DN∥AB，BM：DN=1：1

∴DH=BH

即H為BD的中點

∵ ABC為等腰直角三角形

∴CH平分∠BCD

∴∠BCE=45°，即E點為所求

（3）分析：若E、F關于AC對稱，則AC垂直平分EF，即AE=AF，故此問可以傳化為在OA上求作一點F，使得AE=AF。

思路1：四邊形OCBA為菱形，對角線AC平分∠BCO，只需作∠OCH=45°即可。

作法1：取點H（0，5）連接CH交AO于F，F即為所求。

證明：∵OH=OC=5∴ OCH為等腰直角三角形，∠OCH=45°

∵四邊形OCBA為菱形∴AC平分∠OCB，∠OAB

∠ACO=∠ACB，∠OCH=∠BCE=45°

∴∠ACF=∠ACE

∠CAF=∠CAE，AC=AC

∴ CAF≌ CAE

∴AF=AE，CE=CF

∴AC垂直平分EF

即E、F關于直線AC對稱

思路2：可以通過先算后畫，這也是解決網格作圖問題的一種常用方法

因為CE垂直平分BD，所以BE=DE，通過勾股定理計算出BE的長度，再根據AE：BE=AF：OF構造分點F

作法2：如圖5，取點H，連接CH交OA于點F，F即為所求。

證明：如圖4，設BE=x，則HE=HB-BE=7-x

∵CE垂直平分BD ∴BE=DE=x

在 DHE中，DH=1，HE=7-x，DE=x

即

解得：

AE=AB-BE= ，AE：BE=

∵AH∥OC，∴ ∽

∴

OA=AB=5

∴AF=AE

∴AC垂直平分EF

即E、F關于直線AC對稱

思路3：菱形OABC關于直線AC成軸對稱圖形，可以根據對稱性作圖

作法3：如圖6，連接AC、BE交于點H，連接BH交OA于點F，點F即為所求。

證明：由對稱性易知： OCH∽ BCH

∴∠HOC=∠HBC ，∠AOC=∠ABC

∴∠AOE=∠ABF

AO=AB∠OAE=∠BAF

∴ OAE≌ BAF

∴AE=AF

∴AC垂直平分EF

即E、F關于直線AC對稱

思路4：如圖7，菱形OABC關于直線AC成軸對稱圖形，可根據對稱性作圖。如圖7，由第（2）作圖知BD的中點M是小正方形對角線的交點，可根據對稱性作出M關于AC的對稱點N，CN與OA的交點F，即為所求。

作法4：如圖7，連接小正方形對角線得交點N，連接CN交OA于點F，F即為所求。

證明：計算易知AM=AN= ，CM=CN= ，AC=AC

∴ CAN≌ CAM

∴∠ACF=∠ACE

AC=AC，∠FAC=∠EAC

∴ CAF≌ CAE

∴AF=AE

∴AC垂直平分EF

即E、F關于直線AC對稱

四、進一步思考

題目的解法暫告一段，本題第（3）是作E點關于AC的對稱點F，是建立在四邊形OABC是菱形的基礎上。筆者進一步思考，對于一般的情況，在網格中如何過線外一格點作已知直線的對稱點。

問題：如圖8，作C點關于AB的對稱點

分析：根據軸對稱的性質，如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。所以，我們想要完成這道題目，需要過點C作線

段AB的垂線段，加倍延長垂線段，就可以了。

作法：如圖9，過C點作CD⊥AB，倍長AC至F，過F作FM∥AB交CD于M，M即為所求。

五、教學反思

此題屬于“綜合與實踐”范疇，《義務教學數學課程標準（2011版）》要求達到

結合實際情境、經歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發現和提出問題.通過對有關問題的探討，進一步理解有關知識發展應用意識和能力。筆者認為網格作圖包括以下幾種基本技能：作定長線段、線段取定比分點、過直線一點作已知線段的平行線、作已知線段的垂線、作已知線段的垂直平分線、過直線外一點作已知線段的對稱點、作角平分線、作一個角等于已知角、作旋轉指定角等等。課堂教學是落實核心素養的基礎環節，教師應緊緊圍繞《標準》開展課堂教學，循序漸進地提高學生的數學素養.針對網格作圖基本技能應強化訓練，學生只有熟練掌握基本技能和方法，在遇到同類問題時才會顯得游刃有余。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]北京師范大學出版社，教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數學課程標準（2011版）》解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]貫忠喜，陳健.多角度探究2017年天津市中考網格作圖題[J].中國數學教育（初中版），2017（12）：39-43.