高中數學抽象知識形象化的處理

高飛

摘要：高度的抽象性是數學學科主要的特點。如何讓學生在學習時深刻理解其中內涵，從而實現高效學習已成為教師研究的一個重要內容。形象教學與類比系統歸納同步，把抽象知識形象化處理可以收到較好的效果。

關鍵詞：數學 抽象知識 形象化

背景一：數學是抽象的。它的形成已有幾千年，當人們在一些零散的數學知識的應用中，逐漸加深了對自然規律的認識和把握時，有意識的抽象思維就隨之形成了。數學抽象的特點在于：第一，數學的抽象體現于將客觀對象的其它特征拋棄，只保留它的數量關系和空間形式進行研究;第二，數學的抽象是一級一級逐步提高的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料為其具體背景，它們所達到的抽象程度大大超過了其它學科中的一般抽象;第三，高度的抽象必然有高度的概括，數學本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關系的圈子之中。如果自然科學家為了證明自己的論點常常求助于實驗，那么數學家證明定理只需用推理和計算。這就是說，不僅數學的概念是抽象的，而且數學的方法也是抽象的，并且大量地使用了抽象的符號。因此高度的抽象性是數學學科特點之一。

背景二：當前數學教學中，為了應付高考，教師在教學過程中過分強調程式化和模式化;例題教學中給學生歸納了各種類型，并要求學生按部就班地解題，不許越雷池一步行;要求學生解答重復性練習題，減少學生自己思考和探索的機會，導致學生只會模仿，套用模式解題。重視邏輯思維訓練而忽視形象思維訓練的做法導致了學生分析問題、發現問題、解決問題的能力差。創造性思維水平低，學生不會自已去尋找真理和發現真理。因此，就當前數學教學實際而言，大力加強形象思維的訓練有非常重要的現實意義。

形象化的知識總能給人帶來吸引力，對于學生來說，他們需要這樣的知識形態。錢學森認為，人類思維可以分為三種：抽象（邏輯）思維，形象（直感）維和靈感（頓悟）思維，并建議把形象思維作為思維科學研究的突破口。

背景三：新課程理論認為：每一位學生都是金子，他們的潛力是巨大的。可隨著高中生源不斷萎縮，學生的學習基礎一年不如一年，而我校又是鄉下的普通高中，學生是全縣最差的普通高中學生，數學基礎較差，接受能力弱，加上高中數學知識是高度抽象的。如果用常規方法去教學，學生上課必定是聽不懂，長此下去學生必定會厭學，學習將會越來越差。這不可避免地給我校高中數學的教學帶來一定的困難。教師必須面對這些現實狀況，在實施數學教學中對學生進行全面的了解，并在施教過程中，不斷因人而異地研究和分析這些學生在數學學習方面產生障礙的癥結所在，在教學中要采取行之有效的策略。這就需要教師時時刻刻的站在學生的角度上去形象地去理解知識，要把抽象的知識形象化，只有這樣才能激發起學生的學習數學的興趣。這對于推進學校的素質教育，提高學科教育質量，具有十分重要的現實和歷史意義，也是教學實踐給教育理論提出的一個嚴峻課題。

據以上分析，對抽象知識進行形象化的處理可以從以下幾個方面進行：

一.抽象知識生活化

數學是抽象的，但數學是源于生活的，生活中充滿著數學。在數學教學中，我們應順應學生的思維狀態，緊密聯系學生的生活實際，在現實世界中尋找數學題材，讓教學貼近生活，讓學生在生活中看到數學，摸到數學，體會數學，讓數學脫離抽象的五彩光環還學生一個清晰畫面。從而使學生不再覺得數學是高不可及、遙不可攀、虛無飄渺的，使學生伴隨著豐富的生活情境走進數學世界，使學生養成在生活中應用數學的思維習慣，這將使他們終身受益。教材中，生活的事例隨處可見。講解概率時，可以有乘車、排隊、抽簽、撲克、彩票多種生活實例讓學生參與其中;講解二分法時，可以仿做“幸運52”中的猜手機、MP4、電腦等價格的游戲，讓學生在玩中就領略了二分法的作用;講解指數函數時，對一張紙要達到珠峰的高度只需折疊的次數一定會使學生大吃一驚的。諸如此類之例，只要細心尋找，就可以為教學帶來意想不到的動態效果。可以說從具體實例出發，是學生思維特點的需要，也符合抽象性和具體性的基本關系，有利于學生對抽象結論的理解。

二.抽象知識具體化

遇到一個復雜問題時，如果從特殊情況入手，通過對通俗的、簡單問題的解決，往往會出現“柳暗花明又一村”的境地，使復雜的問題得以解決。這就是特殊化處理一般性。如抽象函數的有關性質對學生來說可是一個難點（通過它的名字你就能感覺得到它的特點）。我們經常可以這樣去解決：先找出一個符合函數方程的具體的代表函數，通過對代表函數性質的分析，加深對抽象函數的各種性質的理解。解決問題后，還要對此類問題的一般情況作一個思考歸納，加深對這類問題的認識。下面就以抽象函數定義域求法為例，希望能起到拋磚引玉的作用。抽象函數是指沒有明確給出具體解析式的函數，其有關問題對同學們來說具有一定難度，特別是求其定義域時，許多同學解答起來總感棘手，下面結合實例具體介紹一下抽象函數定義域問題的幾種題型及求法。

這樣就把較為抽象的解題思路具體化，使全體學生對這種思路都能有更加形象、深刻的認識。學生對抽象知識的認識，不能只停留在直觀的感性認識這個初級階段，還應發揮表象作用，使具體的感性認識逐步過渡到抽象的理性認識。

三.抽象知識系統化

站在系統的高度，注意比較知識間的聯系和區別，不但有利于抓住問題本質，而且可以找出規律即共性，簡化記憶，便于掌握。因為聯系、規律、和諧正是數學科學的本來面目。不同的問題可用同一個手段、方法、思路去解決;同一個問題也可用不同的手段、方法、思路去解決。缺乏整理的知識難于被學生所理解和掌握，而站在系統的高度，對知識八方聯系的結果，則知識好像在手心里，了若指掌。例如筆者在處理2.2.1對數與對數運算第一課時教學時，為了使學生順利理解對數的概念，先從加減、乘除互為逆運算出發，乘方的逆運算是開方（在一定范圍內），例如在3中，求底數的運算就是開方運算，寫成;求指數的運算就是對數的運算，寫成，從中可以知道乘方、開方、對數三者互為逆運算。借助下列表格，可以進一步理解對數的本質的概念。

四.抽象知識變式化

五.抽象知識圖形化

數形結合是高中四大數學思想之一。通過數形結合，可將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來;通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的作用，實現抽象概念和具體形象的聯系，可以把數量關系轉化為圖形的性質問題來研究，或者把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題來研究，使數學問題得到解決。數學家華羅庚先生曾對數形結合的思想和方法賦詩：“數與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數無形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休;切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”教學中，可以用文氏圖使得集合間的關系符號和集合運算符號具體化;可以用復平面內的點、向量讓復數具體化;可以用函數圖像讓函數生動具體。重視數形結合的數學思想，善于用形的具體來化解數的抽象，是高中學生的必修功課。

六.抽象知識信息化

現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程內容、數學教學、數學學習等方面產生深刻的影響。《普通高中數學課程標準》中提到：“應重視信息技術與數學課程內容的有機整合，整合的原則是有利于對數學本質的認識。……在教學中，應重視利用信息技術來呈現以往課堂教學中難以呈現的課程內容。”而知識的抽象性正是課堂教學中難以呈現的內容之一。在函數的單調性、奇偶性概念的學習中，最讓學生感到困惑的是：如何突破常量到變量的轉化，從而達到由直觀到抽象。幾何畫板的動態演示在解決此類問題中具有絕對的優勢，它可以通過演示數量的變化特征，給學生以啟發，從形的特征中找出它們在數值上的規律，形成函數奇偶性的定義。直觀是學生領會抽象的數學知識的起點，是使學生由不知到已知的開端;教師在教學中應盡可能對有關課題作形象化的處理，例如，使用圖片、幻燈、錄像以及計算機軟件，是數學教學中用作發展學生抽象思維的重要手段和原則。

總之，由于學生認識水平的限制，他們對于教材中較多地反映了數學的邏輯結構而掩蓋了數學思維活動過程中的數學理論是難以獨立地完成認識過程的。他們對于數學理論背后所蘊含的豐富的具體內容，或者頭腦中比較缺乏，或者有一定的感性但不能很好地將之與所學的理論相聯系，而對于被理論所掩蓋的數學思維活動過程則更是難以把握。所以在教學中，教師應為學生提供適量的，具有典型意義的具體的形象的材料，讓學生在數學理論知識的導引下，對這些材料進行充分的感知，并在此的基礎上再進行抽象概括，使新知識與已有的數學知識經驗建立起內在聯系，成為一個有機的知識整體，達到對數學理論的理性認識。設計教學過程時，一定要讓學生有機會經歷各個抽象階段：從現實的形象材料中抽象出數學的本質，通過從大量的或復雜的數學材料中抽取最重要的，本質的屬性或特征，從表現形式不同的數學材料中分析它們共同點的思維活動;通過分析數學對象的特征及其之間的聯系或關系，掌握數學的定義、定理、公式、法則等等。

參考文獻：

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浙江省紹興市永和高級中學 浙江省紹興市 312000