巧相似，活變形

裘依玲

摘要：最值問題是中考中一類常見題型，對學生數學綜合能力要求較高，即現下我們所注重的學生的數學核心素養.本文以2019年臺州市中考第16題為載體，用幾何解法探究一類最值問題的多種解法，進而歸納中考復習中線段最值問題的研究思路與教學方法，思考復習教學中學生數學核心素養的培養方法.

關鍵字：幾何解法，解析法，最值問題，核心素養

1 原題呈現

2 思路探析

此題是一道幾何最值問題，在復習階段我們會初步將最值問題的類型歸納為線段最值問題、將軍飲馬類最值問題、胡不歸和阿氏圓問題，但是最值問題知識覆蓋面較廣，綜合性較強，并不是簡單的幾類題型可以概括，不過在拿到題目之后，我們可以先思考本題是否屬于這三種類型中的一種.在仔細閱讀題目之后，可以發現題目中變量m、n之間的關系已經給出，可由，得，從而，即求的最大值可以轉化為求n的最大值，那么這就是一個線段最值問題.除了題目給出的數據，我們應該關注數據之間的內在關聯，結合圖形特征分析解題思路，圖形中沒有固定的點與線，但條件∠ABC=90°和BD=4限制了m和n的大小，以及動點A，B，C的位置，如何將這兩個條件運用起來是解題的一個突破口.

3 解法探析

解決一個幾何最值問題，我們肯定會將注意力集中在圖形上，展開聯想，如何將條件給出的數據運用起來，構造出能夠解題的圖形，大部分同學都會先想到運用幾何解法來解決該題，那么幾何解法應該如何入手呢？下面我們一起來探究一下吧！

要用幾何法解決該題，添輔助線是關鍵，那么如何添輔助線呢？結合圖形特征，一個直角頂點在其中一條平行線上，首先浮現在我們腦海中的可能就是構造相似，那么這時如果我們將重點放在直角，就會過點B做三條平行線的垂線，構造出“K”字型相似，如圖1.

由于△ABE∽△BCF，可得，再將題中的字母代入，便有，那么BD=4這個條件如何應用呢？這時候就需要再添加輔助線了，即過點A作交于點G，過點C作交于點G，如圖2.此時可以發現圖形中又出現了一個“X”字型的相似，即△ADG∽△CDH，那么如何將這么多線段表示出來呢？

我們可以設，此時利用BD=4就可以表示出線段，結合第一個“K”字型相似，可得，通過第二個相似，可得，即，所以化簡可得，將其與共同代入中，便可化簡出關于x的一個二次函數，即，當時，有最大值為25，由于n為正數，所以當n=5時，取得最大值為，即的最大值為.觀察此法，是以幾何為起點，代數為終點，在圖形構造上更貼近學生的思維方式，但是構造出“K”字型相似之后學生也會可能就會因為沒有思路就戛然而止，找不到進一步解法的情況，而該法涉及的字母較多，許多學生未必能完整的完成整個解題過程.

如果我們將重點放在三條平行線上會不會有其他不一樣的收獲呢？回到圖形分析，三條平行線的組合在哪個知識點中出現較多？是在學習相似三角形的平行截割定理中.如果我們將平行線截割定理中歸納出的基本圖形“A”字型如圖3，放在本題的圖旁，就容易聯想到可以通過延長線段AB構造“A”字型相似，如圖4，延長AB交于點M，由于，可得△ADB∽△ACM，利用高之比等于相似比，可得，由于，所以.CM的長求得對于解題有何幫助呢？當然還要結合∠ABC=90°的條件，推出，那么已知條件就轉化成了一個斜邊長為10的直角三角形什么時候高線最長呢？要解決這個問題，我們這里探討兩種方法，方法一：B點為動點且是直角頂點，當斜邊長固定時，B點就是在以CM為直徑的圓上運動，n為圓上的點到直徑CM的距離，這個距離什么時候最大呢？結合圖形很容易分析出半徑時候最大，所以n的最大值為5，從而的最大值為;方法二：取CM的中點N，連結BN，過點B作交于點P，線段BP的長即為n值.這時斜邊上的中線，由于點B是動點，

所以當B點剛好在CM的中垂線，即為等腰直角三角形時，高線BP與中線BN重合，長度相等等于5.我們也可以根據該圖形中的“斜大于直”推得，從而得到n的最大值為5，的最大值為.基于這種方法，我們還可以延長BC構造出不同的“A”字型相似圖形，同樣也可以求出的最大值.既然“A”字型相似可以求出最大值，那么直接去構造“X”字型是否也可以呢？答案是肯定的，過點B作交于點H，利用△ACD∽△BHD，求得DH=6，在中可求得中線，所以n的最大值為5，的最大值為. 對于兩種不同的幾何法，我們可以發現，第二種通過“A”字型和“X”字型構造相似的解法更加優美簡潔，但是學生不容易在知識點中產生關聯，構造圖形，而第一種幾何法的輔助線構造對于學生來說更易產生聯想，但是后面利用二次函數求最大值的過程比較復雜，涉及字母較多，對于學生綜合能力的要求較高，學生解答也存在一定困難.

4 反思歸納

本文主要從幾何角度探究了一個中考出現的線段最值問題，通過對題目的一題多解探究，我們可以初步歸納一般步驟.

用幾何法解決此種類型問題時，一般將已知條件結合圖象特征分析，通過添加輔助線將已知條件進行轉化，找到動點位置規律，或者利用相似等知識點構造未知量之間的關系，進而求解.運用幾何法解決最值問題的核心是轉化，通過變化過程中不變特征的分析，利用幾何變化，圖形性質等手段把所求量進行轉化，構造出符合幾何最值問題理論依據的幾何結構，進而解決問題，求得最大值.

參考文獻：

[1].羅琳.基于核心素養的“幾何直觀”的數學教學——一道線段最值問題的教學啟示.中數學教學研究.2017.8.

[2].陳志遠.從核心素養看一類幾何最值問題的解法.高中數學教與學.2018.6.

[3].徐勝.例談用基本不等式求解最值問題的常見策略.2015.4.

[4].沈岳夫.例談最值問題的基本解題策略.2010.10.

浙江省永康市永康中學 浙江省永康市 321300