數(shù)列單元復(fù)習(xí)的教學(xué)探究

唐文波

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，每年的高考中所涉及的考題分值約為15或17分，題型含一道選擇（或填空）題及一道解答題。難度一般較易或中等，也有作為壓軸題出現(xiàn)的情況。數(shù)列考點(diǎn)眾多。新課標(biāo)作如下陳述，數(shù)列考查：（1）數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法：①了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）;②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù);（2）等差、等比數(shù)列：①理解等差、等比數(shù)列的概念;②掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式;③能在具體問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問題;④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。仔細(xì)分析，基本題型是：①求解數(shù)列通項(xiàng)公式;②數(shù)列前n項(xiàng)和公式;③求等差、等比數(shù)列的基本量;④等差、等比數(shù)列特殊性質(zhì)的考查;⑤數(shù)列函數(shù)性質(zhì)的考查。解決數(shù)列問題的方法駁雜，這些方法都是基本數(shù)學(xué)思想的現(xiàn)實(shí)體現(xiàn)：函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、一般到特殊的思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想。其中尤以函數(shù)方程思想的考查為重。在新高考背景下，數(shù)列知識(shí)是構(gòu)造創(chuàng)新性命題、不確定性命題的重要內(nèi)容。因此，基礎(chǔ)性、靈活性、可組合性越來越成為高考中數(shù)列命題的特點(diǎn)。

基于此，我們按照“研讀課程標(biāo)準(zhǔn)” “解讀高考題目，分析考查內(nèi)容” “劃分單元”的思路，完成了數(shù)列單元復(fù)習(xí)教學(xué)的規(guī)劃設(shè)計(jì)。見下圖①

下面，我們?cè)斦劯鲉卧虒W(xué)的具體實(shí)施過程。

一、基礎(chǔ)考點(diǎn)的過關(guān)（以數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)為主線組織的主題類單元）——目的：準(zhǔn)確識(shí)記基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本方法，提高解題能力。教學(xué)重點(diǎn)：典型例習(xí)題的學(xué)習(xí)，借題鋪“點(diǎn)”，題后及時(shí)反思，利用思維導(dǎo)圖法完善知識(shí)系統(tǒng)。實(shí)施教學(xué)時(shí)，需要注意兩個(gè)方向：1.例習(xí)題的選擇：題目應(yīng)體現(xiàn)考點(diǎn)知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，遞進(jìn)出現(xiàn)。題目普及基本解法，也兼顧特殊解法技巧的推介。2.引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)列基本知識(shí)的思維導(dǎo)圖的繪制：關(guān)鍵詞的確定、注意導(dǎo)圖分支的邏輯遞進(jìn)、留白（方便補(bǔ)充信息）的安排。應(yīng)該認(rèn)識(shí)到思維導(dǎo)圖能以直觀形象的方式表征知識(shí)，有效呈現(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)教師思維過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，幫助其從了解、模仿、自主引用到開放性運(yùn)用，反映學(xué)生認(rèn)知的基本過程。3.突出數(shù)列是特殊函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的思想研究數(shù)列問題。（見圖②）

二、高考原題（或變式）的研究（以數(shù)學(xué)思想方法為主線組織的方法類單元）——目的：分析高考命題規(guī)律，明確重要考點(diǎn)，做好基礎(chǔ)題型方法的總結(jié)，熟練掌握題型解決技能，完成解題思維導(dǎo)圖的繪制。教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用高考原題引導(dǎo)學(xué)生掌握基礎(chǔ)題型的通解通法，具備較強(qiáng)的解題能力。安排學(xué)生演練變式題，勤總結(jié)促反思。反思的內(nèi)容要全面深刻，含知識(shí)系統(tǒng)的自我完善，掌握通解通法的時(shí)候，關(guān)注特殊的解題方法技巧，拓展思維廣度及深度時(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解。此單元的重點(diǎn)在解題教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生觀察題目條件，學(xué)會(huì)選擇合適的解題方法，掌握通解方法中的關(guān)鍵點(diǎn)，突破難點(diǎn)。對(duì)于學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的問題，要及時(shí)呈現(xiàn)、矯正、反思。（見圖③）

解題教學(xué)時(shí)，建議引入思維導(dǎo)圖幫助解題。下面是運(yùn)用思維導(dǎo)圖解決數(shù)列問題的一個(gè)范例：（見圖④）

思維導(dǎo)圖使思維直觀化，將題目信息全面展示，幫助學(xué)生根據(jù)問題需求，參照過往解題的經(jīng)驗(yàn)，積極檢索題目所涉及的知識(shí)，相關(guān)的基本解題方法，作出選擇、既組織自己的思想，也組織他人的思想，整合經(jīng)驗(yàn)，發(fā)散思維，解題時(shí)先類比模仿，再自主引用成功經(jīng)驗(yàn)，之后才能開放性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來更高效地解決數(shù)學(xué)問題。

三、新高考背景下的命題研究（以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主線組織素養(yǎng)類單元及以數(shù)學(xué)發(fā)展歷史為主線組織HPM類單元）——目的：針對(duì)新高考形勢(shì)下，命題規(guī)則穩(wěn)中有變，題目形式變化，對(duì)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，跨學(xué)科整合都有越來越多的體現(xiàn)。研究命題的規(guī)律，既為應(yīng)對(duì)高考提供知識(shí)準(zhǔn)備、心理準(zhǔn)備，也為以后的教學(xué)調(diào)整方向。教學(xué)重點(diǎn)：教師應(yīng)用相應(yīng)的典型題目對(duì)新高考要求進(jìn)行解讀，并作相關(guān)資料的整理。分類、歸納、重組變式。（見圖⑤）

附題：HMP是History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，源自1972年在英國(guó)Exeter舉行的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上的一個(gè)研究組，專門研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系的組織。HPM主要研究?jī)?nèi)容包括數(shù)學(xué)史與教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)，多元文化的教學(xué)等。

四、單元主題設(shè)計(jì)教學(xué)的實(shí)踐情況

1、與以往的復(fù)習(xí)相比，單元主題設(shè)計(jì)下的教學(xué)目標(biāo)更明確，課堂設(shè)計(jì)前后一致，邏輯連貫。教學(xué)過程中，借助思維導(dǎo)圖，將教學(xué)任務(wù)、階段任務(wù)完成情況直觀呈現(xiàn)，師與生的教與學(xué)配合相宜，課堂時(shí)效得到提高。每堂課主題唯一，但完成主題任務(wù)的方式多樣，教師可根據(jù)學(xué)生的反饋，及時(shí)作出教學(xué)調(diào)整。一堂課，知識(shí)要求、能力要求在多樣化的教學(xué)活動(dòng)中得到體現(xiàn)。

2、自2021級(jí)的高三復(fù)習(xí)開始，我對(duì)自己所帶的兩個(gè)歷史方向的班級(jí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)階段的單元主題設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)據(jù)分析。研究表明，實(shí)施單元主題設(shè)計(jì)教學(xué)后，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平有所提高。幾次大型考試成績(jī)說明：相較學(xué)生的初始成績(jī)，實(shí)施單元主題教學(xué)后，學(xué)生的成績(jī)緩慢增長(zhǎng)，間或有起伏，但總體趨好。與之相應(yīng)的是，學(xué)生的課堂參與漸顯主動(dòng)，能較好地圍繞課堂主題，配合老師的教學(xué)設(shè)計(jì)，積極思考，提出自己的見解，增強(qiáng)了歸納分析的能力。每堂課下來，學(xué)生的課堂總結(jié)都有亮點(diǎn)：通法的理解，特殊條件的多角度解讀等，體現(xiàn)了其學(xué)習(xí)能力在逐步提高，也顯示了單元復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性。對(duì)教師而言，作好單元設(shè)計(jì)，需大量搜集、整理、消化優(yōu)質(zhì)學(xué)科資源，如：數(shù)學(xué)史料、學(xué)術(shù)文獻(xiàn)、精品課例、優(yōu)選試題等。在此過程中，促進(jìn)了教師的專業(yè)成長(zhǎng)，拓寬了視野，也為其職業(yè)前景規(guī)劃提供了更多的思考方向。

3、反思：①單元教學(xué)主題設(shè)計(jì)，應(yīng)注重學(xué)生體驗(yàn)，培養(yǎng)思維能力。復(fù)習(xí)階段，用好學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)適時(shí)增加數(shù)列問題的背景材料的閱讀（材料以數(shù)學(xué)史料為主）。幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)列問題與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，從數(shù)列知識(shí)的發(fā)展中，探詢知識(shí)延展的脈絡(luò)，知來處，明去向，幫助學(xué)生從感性認(rèn)知向數(shù)學(xué)理性思維發(fā)展。課堂反思的設(shè)計(jì)，要有目的性，如數(shù)列求和的方法有多種，要求學(xué)生反思的應(yīng)是：不同求和方法的適用條件，求和方法使用時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)？這樣的反思才能促進(jìn)學(xué)生深入思考。②重視教法設(shè)計(jì)，提升能力結(jié)構(gòu)：運(yùn)用思維導(dǎo)圖作教學(xué)設(shè)計(jì)布局，直觀明了，將自主學(xué)習(xí)、合作交流、變式訓(xùn)練融入教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深入把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，促進(jìn)其閱讀、理解、分析、計(jì)算、推理、歸納、總結(jié)。③優(yōu)化問題設(shè)計(jì)，培育思維品質(zhì)：教師要加強(qiáng)對(duì)經(jīng)典數(shù)列問題的分析，根據(jù)考題要求，立足考點(diǎn)，將經(jīng)典問題進(jìn)行解構(gòu)重組，變式疊出，形變而意定。如數(shù)列問題的考查中強(qiáng)調(diào)函數(shù)思想的應(yīng)用，就可從等差數(shù)列的通項(xiàng)與一次函數(shù)的解析式關(guān)系，等差數(shù)列前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的解析式的關(guān)系上入手，編制層次遞進(jìn)的題目，幫助學(xué)生把握關(guān)鍵，提升學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸的思想。

總之，當(dāng)前的高考復(fù)習(xí)，應(yīng)立足于高中教學(xué)內(nèi)容，聯(lián)系學(xué)生已有的知識(shí)背景，遵守新高考命題規(guī)則。復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)教研組的團(tuán)體協(xié)作，作好相關(guān)知識(shí)材料的收集、選讀、整理、編輯。新試題的背景材料要出新，可從古籍、現(xiàn)實(shí)生活、前瞻論題中選材。而高考考題萬變不離其宗，不可被題目的背景材料所惑，抓本質(zhì)、抓重點(diǎn)、核心考點(diǎn)一直是那些基本內(nèi)容，而數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用才是關(guān)鍵。單元教學(xué)的設(shè)計(jì)中抓好問題設(shè)計(jì)，層層遞進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，循環(huán)更新，在解題教學(xué)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，形成解決問題的能力，完善學(xué)生素養(yǎng)。教師以發(fā)展的眼光關(guān)注教學(xué)策略與教學(xué)實(shí)施的關(guān)系。當(dāng)然思維導(dǎo)圖在教與學(xué)中的引入，可幫助師生找到適合自己認(rèn)知規(guī)律，又兼具個(gè)人特色的教（或?qū)W）的策略，實(shí)現(xiàn)師生教與學(xué)的雙向提升。

重慶第七中學(xué)校 重慶市沙坪壩區(qū) 400030