淺析數形結合思想在解二次函數有關題型時的有效策略

汪波

數學是研究現實生活中數量關系和空間幾何的一門學科，能更好地幫助人類解決生活問題，提升學生邏輯思維能力，訓練學生分析問題和解決問題的有效策略 ，增強學生認識世界和了解世界奧秘的信心，從而樹立學好文化科學知識的自信。故此，數學作用毋庸置疑，其效果是巨大的，當下的數學課堂是傳承文化、貫徹教育理念的重要場所，提升課堂效率，讓師者教出智慧、生者學出樂趣來，便成了課堂高效的重要目標。筆者認為：轉化二次函數的解題難度，讓抽象的數學更具體形象、更直觀，數形結合思想便是學生正確理解二次函數相關問題的有效途徑，能更有效地化解課堂思維的瓶頸，讓課堂的有效性及高效性得以體現，讓數學課更有趣味性、更有數學味。

我國著名的數學家華羅庚說過：“數缺形，少直觀;形缺數，難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”不難看出數形結合思維方式是數學學習的重要手段，更是數學學科本身所俱有的特征，當然更是化解數學難度的重要途徑。九年級學生對二次函數的求解大多存在求解的困惑，特別是代數綜合題及幾何綜合題 。針對學生求解的困惑點，教師的引領智慧可從數形結合思想入手，讓二次函數的綜合題 的求解能從直觀的形中找到求解方案，使數學教學能俱有數學本身學科的智慧來。

本人通過課堂的反饋發現，學生在學習二次函數類型的知識時，主要有如下認識瓶頸：

1、形數轉化橋梁無法構建，從而使知識間的聯系無法形成，函數知識呈碎片化，各種性質的割裂讓解決方案無法形成。

2、二次函數的性質理解不夠透徹，相關特征沒有形成形數結合的認知體系，從而使極值求解知數忘形，讓極值的求解方案過于片面或無法找到正確的方向。

3、存在性的模型中的“形”能力欠缺，要么只有形而無數，要么只有數而無形，特別在方程思想形成中缺乏建模意識，導制求解結果不全或根本無法求解。

4、與面積有關的代數綜合題及幾何綜合題的求解過程中，學生的思維呈割裂狀，只現形沒有數的意識，知識只是斷崖式呈現，從而數學問題無法形成解決方案。

5、知函數圖象，需求二次不等式組的解集的取值問題的求解中，分段意識不強，學生大都缺乏整體思考的意識，只見高山不見平湖，求解范圍不全的情況較多。

6、特殊的二次函數的極值求解中，學生的思維混亂，缺少整合形數的通道，只會思考形而缺方程思想的意識，導制在解決問題時陷入困惑。

總之，二次函數的相關問題的求解，綜合類題的難度大的根本原因便在于學生在整合數形時缺乏應有的建構理念，導制方程思想的建模能力與幾何圖形的性質的認識是割裂式的、碎片化的，因而無法解決問題。而要解決二次函數的綜合類題，本人認為可從如下幾個方面進行化解：

一、由數入形，從平面直角坐標系入手建模，點亮學生求知的眼睛。

本人在二次函數的習題講解中便大膽整合教材，讓代數的抽象與幾何直觀能更好地整合，充分激發學生的求知欲，讓更多的學生主動去參與學習，利用好圖形，使學生在形數轉化中有自已的獨特見解。

如、二次函數y=|a∣x2+bx+c的圖象經過A（m，n）、B（0，y1 ）、C（3-m，n）、D（2，，y2 ），E（2，y3），則y1 ，y2 ， y3的 大小關系是（ ）。

A、y1

本例在選用中，主要是考查學生對二次函數的畫圖方法的認識水平，關鍵點在于學生對|a∣的理解程度，只有理解了|a∣的代數意義，才可將數學圖形找出來。而要解決此類問題時，本人采用了以平面直角坐標系為思考的起點，通過學生在此圖形中合理將五點有序數對轉化為平面直角坐標系內的點，從而通過數入形的通道，找準該拋物線的對稱軸存在的原因和其對應的方程為：x=32的事實，從而巧用其對稱性，找出各點存在性的大小，再通過函數圖象的增減性及到對稱軸的距離的遠近確定其大小。在具體求解中教師主要強調學生畫圖能力 ，并及時利用好計算距離的遠近的方法找出問題求解方案。

不難看出，本例中平面直角坐標系構建成為解決問題的最主要的工具，只有學生通過分析發現圖形存在性，方可讓函數取值的大小變得更簡單、更直觀、更容易。

又如：已知拋物線y=-x2+mx+2-m，在自變量x的值滿足是-1≤x≤2時，若對應的函數值y的最大值為6，則m的值是多少？

通常在解決函數值的極值問題中，常規辦法是：

首先找出自變量的取值范圍，然后由自變量及函數圖象的增減性入手去分析，具體分為如下三種情況：

1、當拋物線對稱軸在自變量范圍范圍內，則拋物線的頂點坐標的縱坐標便是其極值。

2、當拋物線的對稱軸在自變量范圍外時，若在遞增的圖象范圍內時，則由其增減性來定。

3、當拋物線的對稱軸在自變量范圍外時，若在遞減的圖象范圍內時，其增減性可從圖象中分析得出。

而本例需教師引領學生通過分析三種可能性，在形成具體的求解結果中逐步發現形與數相結合的分析更科學、更合理。特別是學生在參與構圖過程中熱情能更好地提升了對學好二次函數的信心。本人在課堂中采用了分段、分部分討論，形成拋物線的頂點式，由其頂點式入手，找到對稱軸方程，巧妙構建成方程，通過求解方程及相關的計算得到本例的求解結果。

故此，當函數的區域求值時，應給定較清晰的定義域，然后通過平面直角坐標系形成對應的圖象，建立合理的數學模型，找到其各自的圖形特征，由圖形的本身所俱有的性質形成求解方案。正所謂：形由數來驗證，數由形來定方向。

例①問的求解只需由形入數，找出點坐標，通過三點求解法定出函數的解析式，這是函數的基礎題。但②問的面積極值求法，實際上可由其自變量取值范圍及二次函數的極值求法定出。在此類例題中，學生大多數仍停在面積求解中，缺乏對自變量取值認定，從而使求解失誤。③問中旋轉意識，則需教師引領學生去巧妙構形，以形析數，形成科學合理的認知模式。線段PA的存在方式的不同性，可由其先構

形建模中找到，然后以數化形，讓P點的兩種存在及其坐標的合理構建，然后形成方程求解出的答案。

總之，形數的轉化的合理性，會使復雜問題簡單化。也更能體現數學學科本身的智慧，而數形結合思想中最核心的便是：以形建模定

直觀、數式方程巧計算，這樣才能讓二次函數的求解更順暢、更科學、更易得分。或許二次函數的形數結合的思考方式僅是求解方法中一種特例，可這種結合的完美程度，會讓枯燥的數學課堂在教師的精妙的預設中生成科學的智慧來，也定能讓當下的數學課堂生出師生共成長的樂趣來。

故此本人希望數學教師能更幸福地從教，能從高效課堂中點燃學生學習數學的熱情，還原數學本來的美好。真誠期待數學課堂中的公平與和諧，師生互動的愉悅點亮學生求知的雙眼。那就讓數形結合思想在課堂中無縫對接找到求解二次函數有關題型的金鑰匙，期盼一線數學教師真正成為學生一生中的貴人。