為什么使用弧度制

在初中數學中，我們用“度”數來表示兩條直線之間夾角的大小，比如，360度表示圓周角，180度表示平角，90度表示直角，諸如此類.進入高中階段后，我們把角的單位，由“度”換成了“弧度”.這時，圓周角表示為2π，平角表示為π，直角表示為[π2].那么，我們為什么要引入弧度呢？

一、簡約的要求

角度制在初等數學及各種實用幾何中應用較為廣泛.在高等數學中，運用弧度制，會給我們計算面積、弧長以及解決微積分中的有關三角函數問題等帶來便利.

從圖1的極限函數圖象中，我們不難看出，只有弧度制才滿足極限[limx→0sinxx=1].假如用角度來表示的話，那么[limx→0sinxx=π180]，看起來不夠簡潔.而且只有滿足[limx→0sinxx=1]這個條件，才會有[（sinx）′=cosx，] [（cosx）′=-sinx]這樣更簡潔的公式出現.就因為有了這樣的簡潔公式，正（余）弦函數才能有更簡單的表達形式：[sinx=x-x33！+x55！-…]，才會有如此簡潔的歐拉公式：[eiθ=cosθ+isinθ]，然后才會產生各種偉大的數學成果.如果我們用角度單位表示的話，那么[（sinx）=π180cosx，（cosx）′=-π180sinx].運用這樣的公式進行計算或表示太過復雜，會給我們帶來很多的困擾.所以，為了使這些公式和算式的形式更加簡潔，我們必須選擇弧度制.

二、使描述統一

事實上，使用弧度制的另外一個原因在于方便測量以及對與角相關理論的延伸和推廣.我們平時所說的角，一般是指平面角，就是兩條同源射線的張開程度.怎么測量這個張開的程度呢？我們可以先把一個圓周角分為360份，每一份叫作1°，然后再進行細分，將1°分成60份，每一份叫作1′，將1′分成60份，每一份叫作1″.于是有了1°=60′，1′=60″這樣的變換法則.這個變換法則很容易讓我們認為“度”是一個實在的單位，用物理學的語言說，角度具有量綱.但事實上，角度是沒有量綱的，它不像長度、時間那樣具有實在的單位.我們所說的度、分、秒是人為給定的，不能反映其物理的實在意義.其實，表示兩條射線的張開程度，不一定需要用上面的“度”，只需要長度之比就可以將其表示出來.比如說，在一條射線上任取一點，往另外一條射線上作高，構成一個直角三角形，其高與斜邊之比，也就是[sinθ]的值，它就代表了這個張開的程度.但在這里，[sinθ]是不隨[θ]的勻速變化而勻速變化的（不成線性關系），這樣用起來很不方便.后來，數學家從一個新的角度巧妙地定義角度：如圖2，以角的交點為圓心，以單位長度為半徑作一個單位圓，那么這個角所截的弧的長度就是角的大小.因此，角實際上是弧長與半徑之比，既然它是一個比值，自然就沒有量綱了！我們知道，運用弧度制，弧長[l=Rθ]，這就是弧度的定義！

這個從新的角度給出的角的定義，很容易讓我們將其推廣到“立體角”的概念：從一點引出三條或三條以上的射線，并且以這點為球心作單位球，這些射線在單位球上截出的球面多邊形的面積，就是這個立體角的大小，如圖3.這樣的推廣顯然是成立的，也是很有用的.

利用弧度制，不僅可以用更簡潔的方式將數學式子表示出來，而且讓角有了統一的描述，有了更加科學的定義.弧度制充分體現了數學體系的一致性和簡約性.不得不說，弧度制是人類取得的一個偉大成果.