近代數學的興起

藝術家是文藝復興時期數學發展的“先鋒”，他們基于藝術創作的實踐需要，對數學也有些獨到的見解，但這還不能算是數學的復興.直到16世紀，數學才開始在歐洲復興，近代數學從此開始了空前的蓬勃發展.此時的歐洲人就像古希臘人一樣，充滿了對理性的崇尚和對大自然的好奇，并再次將數學和哲學緊密聯系起來.不同的是，古希臘的數學成就都集中在幾何學上，而近代數學的復興和崛起則始于代數學.同時，歐幾里得幾何公理化的思想被延續了下來.

代數學的發展，開始于解一元二次方程，印度的婆羅摩笈多最早給出了一元二次方程[x2+px+q=0]的一個根的求根公式;花拉子密最先意識到二次方程有兩個根的問題，他第一次給出了一元二次方程的一般解法，承認方程有兩個根以及有無理根的存在，只是他舍棄了負根和零根，并把方程的未知數叫作“根”.古希臘數學家丟番圖把二次方程分為以下6種不同的形式：令[a、b、c]為正數，[ax2=bx、ax2=c，ax2+c=bx，ax2+bx=c、ax2=bx+c、ax2+bx+c=0]，并分別討論它們的根的情況.花拉子密是阿拉伯帝國時期偉大的數學家，他的著作《代數學》被譯成了拉丁文，在歐洲廣為流傳，并長時間用作教材. 在這之前，歐洲在代數學方面并沒有多少成果.但在文藝復興時期，有了翻譯和傳播的途徑，以及以斐波那契為代表的東西方數學文化的交流，代數學走進了歐洲人的視野.

16世紀代數學的主要成就是三次和四次代數方程的求解以及代數的符號化.當時關于三次和四次代數方程的求解問題，是數學研究者們在那個時代面臨的最大挑戰.而意大利數學家塔爾塔利亞和數學愛好者卡爾達諾（本職是醫生）對這類問題的解答，拉開了近代數學興起的大幕.

塔爾塔利亞給出了沒有一次項或二次項的兩類三次方程的解.塔爾塔利亞所解的方程是[x3+mx2=n ，x3+mx=n ，m ，n>0 ，]他給出的解法是，首先化簡恒等式[（a-b）3+3ab（a-b）=a3-b3]，選擇恰當的[a、b]，使得[3ab=m ，a3-b3=n ，]求出上述方程中的[a、b]后，[a-b]就是方程[x3+mx=n]的解.而方程組的解為 [±n2+（n2）2+（m3）33].該式被命名為卡爾達諾公式.

塔爾塔利亞與卡爾達諾通過研究、討論，得出了三次方程的解法.幾年后，卡爾達諾出版了《大術》，他在書中說明了該解法來自塔爾塔利亞.卡爾達諾在《大術》中，補充了[m<0]的情形，并給出了完整的解答過程.對于缺少一次項的情況，他給出了變換方法，使方程轉化為上述情形.《大術》還收錄了四次代數方程的一般解法：把四次方程轉化為三次方程，然后再解三次方程.只是該解法同樣不是由卡爾達諾給出的，而是由他的仆人費勞里給出的，費勞里是首位破解四次方程的數學家.

在三次和四次代數方程問題的求解取得一定的進展后，在此后大約250多年的時間里，人們都在努力解決更高次方程解的問題.直至挪威的年輕數學家阿貝爾發表《一元五次方程沒有代數一般解》一文，人們才停止了尋求高于四次方程的解析解或根式解的嘗試和努力.這個思路也被用到了微分方程上.1841年，法國數學家劉維爾證明了里卡迪方程[dxdy=p（x）y2+q（x）y+r（x）（p（x）≠0）] [，]一般無法通過初等積分法求得通解. 劉維爾的工作促使人們逐漸放棄了求微分方程的通解，轉而求微分方程的數值解.

1615年，法國數學家弗朗索瓦·韋達在著作《論方程的識別與訂正》中改進了三、四次方程的解法，并建立了一元二次方程[ax2+bx+c=0]根與系數的關系，也就是韋達定理[x1+x2=-ba，x1x2=ca]和方程根的判別定理.更為重要的是，韋達從丟番圖的著作中獲得靈感，首次引進了系統的代數符號，數學符號的引入，帶來了代數理論研究的重大進步，韋達也因此被稱為“現代代數符號之父”.