最富創造性的數學家——黎曼

1826年9月17日，黎曼出生在德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一名鄉村牧師.黎曼6歲開始上學，14歲進入大學預科學習，19歲按照父親的意愿進入哥廷根大學攻讀哲學和神學，為將來繼承父志成為一名牧師作準備.

由于從小酷愛數學，黎曼在學習哲學和神學的同時，也旁聽了一些數學課.當時的哥廷根大學是全世界研究數學的“圣地”，一些著名的數學家，如高斯、韋伯等數學大師都在該校執教過.黎曼被這里的數學教學和數學研究的氛圍所感染，決定放棄神學，專攻數學.

1847年，黎曼轉入柏林大學學習數學，成為雅可比、狄利克萊、施泰納和艾森斯坦的學生.1849年，他重回哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年時期的學生.

l851年，黎曼獲得數學博士學位;l854年被聘為哥廷根大學的編外講師;1857年晉升為副教授;1859年接替去世的狄利克雷，被聘為教授.

1862年，因長年的貧困和勞累，黎曼在婚后不到一個月就患上了胸膜炎和肺結核，在其后四年里，他大部分時間都在意大利治病療養.1866年7月20日，黎曼病逝于意大利，終年39歲.

黎曼的著作不多但卻異常深刻.他對數學概念極富創造力與想象力.黎曼在其短暫的一生中，為數學的眾多領域作出了許多奠基性、創造性的貢獻，是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一.

一、復變函數論的奠基人

19世紀數學最獨特的創造是復變函數理論的創立.它是18世紀人們對復數及復函數理論研究的延續.1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾以及維爾斯特拉斯已經對單值解析函數的理論進行了系統的研究，而對于多值函數，僅有柯西和皮瑟有些孤立的結論.

1851年，黎曼在高斯的指導下完成題為《單復變函數的一般理論的基礎》的博士論文，后來又在《數學雜志》上發表了四篇重要文章，對其博士論文中的思想作了進一步的闡述.黎曼一方面總結了前人關于單值解析函數的成果，并用新的工具予以處理，另一方面，他還創立了多值解析函數的基礎理論，并由此為幾個不同方向的發展鋪平了道路.

柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是復變函數論公認的主要奠基人，而且人們后來證明了在處理復函數理論的方法上，黎曼的方法是基礎性的方法，柯西的思想可以和黎曼的融合起來，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西和黎曼的觀點中推導出來.

在對多值函數的處理中，黎曼引入了被后人稱作“黎曼面”的概念.黎曼面給多值函數以幾何直觀，且證明了在黎曼面上表示的多值函數是單值的.他在黎曼面上引入支點、橫剖線，定義了連通性等，在對函數性質的研究上獲得了一系列成果.

經黎曼處理的復函數中，單值函數是多值函數的特例.他把單值函數的一些已知結論推廣到多值函數中，其中按連通性對函數分類的方法，極大地推動了拓撲學的初期發展.他研究阿貝爾函數和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到了著名的黎曼——羅赫定理.首創的雙有理變換構成了19世紀后期發展起來的代數幾何的主要內容.

黎曼在其博士論文結尾部分給出了函數論在保形映射中的幾個應用，將高斯在1825年關于平面到平面的保形映射的結論推廣到任意黎曼面上，并給出了著名的黎曼映射定理.

二、幾何學的創始人

黎曼對數學最重要的貢獻還有幾何方面的.他開創了對高維抽象幾何的研究，其中處理幾何問題的方法和手段帶來了幾何史上的一場革命.他建立了一種全新的，后來以其名字命名的幾何體系，該幾何體系對現代幾何乃至數學及其各分支的發展都產生了巨大的影響.

1854年，黎曼為了取得哥廷根大學編外講師的資格，向全體教員作了一次演講，該演講稿在其逝世兩年后以《關于作為幾何學基礎的假設》為題出版了.在演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱之為黎曼幾何.

為爭取巴黎科學院的獎金，黎曼在1861年寫了一篇關于熱傳導的文章，這篇文章后來被稱為黎曼的“巴黎之作”.該文對他1854年的文章進行了技術性的加工，并進一步闡明了其幾何思想.該文在他去世后被收錄在黎曼的《文集》中.

黎曼主要研究幾何空間的局部性質，他采用的是微分幾何的方法.這與在歐幾里得幾何中，或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中，把空間作為一個整體考慮是對立的.黎曼擺脫了高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲面里的束縛，從維度出發，建立了更具有普遍性的抽象幾何空間.

黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形.維流形中的一個點可以用可變參數的一組特定值來表示，而所有這樣的點構成流形本身，這個可變參數稱為流形的坐標，而且是可微分的.當坐標連續變化時，對應的點就分布在整個流形當中.

黎曼仿照傳統的微分幾何定義了流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角，并以這些概念為基礎，展開對維流形幾何性質的研究.在維流形上，他還定義了類似于高斯在研究一般曲面時，刻劃曲面彎曲程度的曲率.他證明了在維流形上，維數等于3時，所得到的歐幾里得空間情形與高斯得到的結果是一致的，因而黎曼幾何是傳統微分幾何的推廣.

黎曼發展了高斯關于一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展了對維流形內蘊性質的研究.黎曼的研究導致了另一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生.

在黎曼看來，有三種不同的幾何學.它們的差別在于通過給定一點作關于定直線平行線的條數.如果只能作一條平行線，即是熟知的歐幾里得幾何學;如果一條平行線都不能作出來，則為橢圓幾何學;如果存在一組平行線，就得到了第三種幾何學，即羅巴切夫斯基幾何學.黎曼在繼羅巴切夫斯基以后發展了空間理論，使得一千多年來關于歐幾里得平行公理的討論宣告結束.他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，并預見具有某種特定性質流形的存在性.這些斷言逐漸被后人予以證實.

由于黎曼考慮的對象是任意維數的幾何空間，對復雜的客觀空間有更深層的實用價值，所以在高維幾何中，多變量微分具有一定的復雜性.黎曼采取了一些異于前人的手段使其表述更為簡潔，并最終促使張量、外微分等現代幾何工具的誕生.愛因斯坦就是以黎曼幾何為工具，成功地將廣義相對論幾何化.現在，黎曼幾何已成為現代理論物理必備的數學基礎.

三、對微積分理論作出了創造性的貢獻

黎曼除了對幾何和復變函數進行了研究以外，還對l9世紀初興起的完善微積分理論作出了杰出貢獻.

18世紀末到l9世紀初，數學界開始關心數學的一個最龐大分支——微積分在概念和證明中表現出的不嚴密性.波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊以及維爾斯特拉斯，全都投入到研究分析嚴密化的工作中.黎曼由于在柏林大學師從狄利克萊研究數學，且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解.

1854年，黎曼在爭取哥廷根大學編外講師的資格時，還遞交了一篇反映他學術水平的論文《關于利用三角級數表示一個函數的可能性》.這是一篇內容豐富、思想深刻的杰作，對完善分析理論產生了深遠的影響.

柯西曾證明連續函數必定是可積的，而黎曼指出可積函數不一定是連續的.關于連續與可微性的這個關系，柯西和他那個時代幾乎所有的數學家都相信是正確的，許多教科書都“證明”連續函數一定是可微的.但黎曼給出了一個連續而不可微的著名反例，最終講清楚了連續與可微性的關系.黎曼建立了如現在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的充分必要條件.

黎曼用自己獨特的方法研究傅立葉級數，推廣了保證傅立葉展開式成立的狄利克萊條件，即關于三角級數收斂的黎曼條件，得出了關于三角級數收斂、可積的一系列定理.他還證明：可以把任一條件收斂的級數的項適當重排，使新級數收斂于任何指定的和或者發散為無窮大或負無窮大.

四、在解析數論方面取得跨世紀成果

19世紀數論中的一個重要發展是由狄利克萊開創的解析方法和解析理論的導入，而黎曼開創了用復數解析函數研究數論問題的先例，并取得跨世紀的成果.

1859年，黎曼發表了一篇《在給定大小之下的素數個數》的論文.在這篇論文中，他將素數的分布問題歸結為函數的問題，現在稱為黎曼函數.黎曼證明了函數的一些重要性質，并簡要地斷言了其它的性質，但未給予相應的證明.

在黎曼去世后的一百多年中，世界上有許多非常優秀的數學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程中為數學分析創立了新的內容，增加了新的分支.如今，除了他的一個斷言——黎曼猜想外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決.

那個未解決的問題被稱為“黎曼猜想”，即方程[ζ（s）=0]的所有有意義的解都在一條直線上（希爾伯特23個問題中的第8個問題），迄今為止這個問題還沒有被證明出來.對于某些其它的域，布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想.數論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決.黎曼的這一工作既是對解析數論理論的貢獻，也極大地豐富了復變函數論的內容.

五、組合拓撲的開拓者

在黎曼博士論文發表以前，已有一些組合拓撲的零散結論，其中包含著名的歐拉關于閉凸多面體頂點、棱、面數關系的歐拉定理.還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促進了人們對組合拓撲學（當時被人們稱為位置幾何學或位置分析學）的研究.但對拓撲學研究的最大推動力來自黎曼對復變函數論的研究.

黎曼在1851年的博士論文中，以及在他的關于阿貝爾函數的研究里都強調，要研究函數，就不可避免地需要位置分析學的一些定理.按現代拓撲學術語來說，黎曼事實上已經對閉曲面按虧格分類.值得一提的是，在他的學位論文中，黎曼提出了某些函數的全體組成（空間點）連通閉區域的思想，這是最早的泛函思想.

比薩大學的數學教授貝蒂曾在意大利與黎曼會面，黎曼當時由于病魔纏身，已無力繼續研究發展其思想，于是就將在拓撲學上的研究方法傳授給了貝蒂.貝蒂把黎曼的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性上，并在拓撲學的其它領域作出了杰出的貢獻.而黎曼則是當之無愧的組合拓撲的先期開拓者.

六、在代數幾何方面作出貢獻

19世紀后半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數所創造的雙有理變換的方法產生了極大的興趣.當時他們把代數不變量和雙有理變換的研究稱為代數幾何.

黎曼在1857年的論文中指出，所有能彼此雙有理變換的方程（或曲面）屬于同一類，它們有相同的虧格.黎曼把常量的個數叫做“類模數”，常量在雙有理變換下是不變量.“類模數”的概念是現在“參模”的特殊情況，參模上的結構是現代數學研究最熱門的領域之一.

著名的代數幾何學家克萊布什后來到哥廷根大學擔任數學教授，他在進一步熟悉了黎曼的工作后，將黎曼的工作推向了一個新的高度.雖然黎曼英年早逝，但世人公認，研究曲線雙有理變換的第一個大步驟是由黎曼的工作引發的.

七、在數學物理、微分方程等其它領域取得成果

黎曼不但在純數學領域作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理以及數學與物理世界的關系.他寫了一些關于熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方面的論文.黎曼是對沖擊波作數學處理的第一個人，他試圖將引力與光統一起來.他將物理問題中抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究，得到了一系列豐碩的成果.

黎曼在1857年發表的論文《對可用高斯級數表示的函數的理論的補充》，及同年寫的一個沒有發表而后收集在其全集中的片斷中，提出了處理超幾何微分方程和討論代數系數的階線性微分方程的方法.這是關于微分方程奇點理論的重要文獻.

黎曼在常微分方程理論中自守函數的研究上也有所建樹.在他關于超幾何級數的講義和1867年發表的關于極小正曲面的一篇著作中，他建立了為研究二階線性微分方程而引進的自守函數理論，即現在通稱的黎曼—許瓦茲定理.

在對偏微分方程的理論和應用研究上，黎曼在論文中提出解波動方程初值問題的新方法，降低了許多物理問題的難度;他還推廣了格林定理，并對狄里克萊原理——關于微分方程解的存在性作了杰出的貢獻……

黎曼在物理學中使用偏微分方程的講義，后來由韋伯以《數學物理的微分方程》編輯出版，這是一本關于數學物理的重要著作.

黎曼在數學的各個領域都取得了不小的成就，他的工作直接影響了19世紀后半期的數學發展.許多杰出的數學家重新論證了黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下，許多數學分支得到了長足的發展，并收獲了巨大的成果.