合理設計問題鏈，開展數學命題教學

曹文慧

高中數學命題主要包括公式、定理、運算法則等，大多較為抽象，學生理解起來較為困難.在教學數學命題時，教師可以根據學生的實際情況，合理設計一些問題鏈，讓學生在問題的引導下探索數學命題的本質，領悟其精髓，掌握其應用技巧.合理利用問題鏈，讓學生參與到發現問題、解決問題及構建命題的過程中，有助于培養學生的數學思維能力.本文以《平面向量的數量積》的教學為例，談一談如何運用問題鏈進行數學命題教學.

首先，問題的指向要明確.問題涉及的面不能太廣或者表達的意思不能模棱兩可，讓學生不知道在問什么，不明白需要回答什么.例如，在教學《平面向量的數量積》時，教師如果提出問題1：我們已經研究了向量的哪些內容？學生就會不理解教師提問的目的何在，如何作答.教師如果將問題1改為：請同學們回顧一下，我們已經研究了哪些有關向量的運算？學生便會快速地想到問題的答案：向量的加法、減法、數乘運算.然后教師可以引導學生從原有的知識經驗中探索新的知識，在問題1的基礎上給出問題2：如何計算兩個向量的積呢？學生由該問題立即聯想到所學的知識，發現沒有可用的公式.于是，教師可以引出新課的內容：平面向量的數量積.

其次，問題鏈中的各問題必須有一定的關聯.在教學數學命題時，教師要結合學生的認識發展水平和已有的知識經驗，圍繞某一知識、方法或者教學目標設計不同層次、梯度的問題，或者將命題產生的背景、形成過程以及應用串聯起來，加深學生對命題的理解，并讓學生在回答問題的過程中了解各問題之間的聯系，建立知識體系.

例如，在教學《平面向量的數量積》時，教師可以給問題3：我們知道，如果一個物體在力F的作用下產生位移s，如圖1，那么F做的功為W=|F||s|cosθ，其中θ是F、s的夾角.我們能否把“功”看成是這兩個向量的一種運算結果呢？于是學生嘗試將F、s看作向量a、b，且它們之間的夾角為θ，于是得到了平面向量的數量積ab=|a||b|cosθ.接著教師可以給出問題4：設兩向量e1、e2滿足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夾角為60°，求e1e2.學生利用該公式很快計算出結果為1.

結合學生已學的物理知識設計問題鏈，可以啟發學生的思維，讓學生發現平面向量的數量積與實際應用問題之間的聯系，加深對平面向量的數量積的理解.

最后，問題鏈中的問題要具有啟發性.在學生構建知識的過程中，教師要設置一些具有啟發性的問題鏈，來讓學生的認知產生碰撞，讓學生學會發現問題、運用所學知識解決問題.這樣，學生在思考問題的過程中就可以逐步掃除學習障礙，突破難點.

在《平面向量的數量積》的教學中，教師給出問題5：指出圖2中的兩個向量的夾角.學生通過觀察，發現他們的夾角分別為：銳角、鈍角、0o、180o、直角.

問題6：求向量夾角時，他們起點位置具有什么要求？（共起點）

問題7：向量夾角具有哪幾種特殊情況？對應的向量存在怎樣的位置關系？（0、[π]、[π2]，向量平行、垂直）

問題8：向量數量積運算結果與向量的加、減、數乘運算結果有什么不同？（向量數量積的結果是實數，向量的加、減、數乘結果還是向量）

問題9：向量數量積的符號在什么情況下為正？什么情況下為負？（夾角在[0，π2]時，為正，夾角在[π2，π]時，為負）

問題5～9這一連串問題，從不同的角度、層次探討了數量積公式中各個量的作用、代表的含義、可能出現的情況，有利于引導學生深入理解向量的數量積.利用具有啟發性的問題鏈，引導學生學會從數、形上對向量數量積的內涵、外延進行研究，學生便可自主得出結論：當[a，b]方向相同時，[a?b=ab];當[a，b]方向相反時，[a?b=-ab];特別地，[a?a=a2=a2].

在利用問題鏈進行數學命題教學時，教師要合理設置指向明確、有一定關聯、具有啟發性的問題，這樣才能有效地提升命題教學的效率.

（作者單位：江蘇省海門市證大中學）