在解題教學中如何引導學生運用化歸思想

陳娟娟

應用化歸思想的關鍵就是在觀察、分析、分類、對比、轉化等的基礎之上，把復雜的問題條理化、清晰化、簡單化.教師要注重培養學生運用化歸思想的意識，幫助學生梳理解題思路，掌握解題技巧，提高數學解題能力.

一、引導學生運用化歸思想尋找解題的線索

在遇到題目時很多學生之所以無從下手，往往是因為對題目的分析不夠深入，未能挖掘出其中有價值的信息.而化歸思想的應用能幫助學生尋找到解題的線索，從已知條件中發現數量關系，從而獲得解題思路.教師可以首先引導學生辨別題目的類型，回憶與此相關的知識點，將題目中隱藏的信息挖掘出來，然后引導學生展開想象，尋找解題的線索，運用化歸思想從不同的角度將問題轉化.

例1.已知直線（a-2）y=（3a-1）x-1，（1）求證無論a為何值，直線總過第一象限;（2）為使這條直線不過第二象限，求a的取值范圍.

解析：教師首先可以讓學生把已知條件簡化，幫助學生從中找到一些靈感，給出提示：大家能否將第一問轉化成無論a為何值，直線必然經過一個x和y都大于0的點，也就是求一個關于a的方程的解呢？于是，學生把直線解析式變形為方程（3x-y）a=x-2y+1，令等式兩邊都等于0，即3x-y=0，x-2y+1=0，解得x=0.2，y=0.6，所以直線必過第一象限.對于第二問，教師可以讓學生思考：第二象限的點具有什么特征？學生意識到要使第二象限中的點[x<0]、[y>0]，則必須滿足[k>0]、[b<0]的條件，于是將函數化簡為[y=3a-1a-2x-1a-2]，此時還要考慮分母是否為0，若[a-2=0]，則直線為[x=15]，經過一、四象限;若[a-2≠0]，則函數要滿足[k=3a-1a-2>0，b=-1a-2<0]，解得[a>2]，所以綜上所述，當[a≥2]時，直線不過第二象限.

二、引導學生運用化歸思想建立新的數學關系

運用化歸思想的一個要點就是要利用題目中的線索建立新的數學關系，將函數、方程、圖形等各種數學表達方式靈活轉化，實現化難為易.因此，教師要幫助學生整理已知條件中的數量關系，把知識點轉化為相應的關系式，然后引導學生通過轉化、變形等方式求出最終結果.

例2. 已知x、y∈R*，且[1x+9y=1]，求[x+y]的最小值.

解析：教師可以提示學生：如何把[1x+9y=1]與[x+y]結合起來建立新的數學關系？學生頓時有想法：將[x+y]轉化為新的關系式[x+y=1·（x+y）=（1x+9y）·（x+y）=yx+9xy+10]，又因為x>0，y>0，根據基本不等式可得[yx+9xy≥2yx·9xy]，化簡得[x+y=yx+9xy+10≥16]，當且僅當x=-4，y=12時等號成立，此時[（x+y）min=16].

學生通過從題目中挖掘相關信息，運用化歸思想建立新的關系式，成功運用簡便方法達到了解題的目的.化歸思想的應用既簡化了解題過程，又有助于培養學生的數學思維能力.

三、引導學生運用化歸思想總結解題的技巧

運用化歸思想不僅是為了解答題目，更重要的是要培養學生總結歸納、舉一反三的能力，達到活學活用、觸類旁通的效果.一方面，教師要在習題練習中有意識地培養學生的化歸能力，給學生提供不同類型的題目，讓學生掌握化歸思想的應用方法;另一方面，教師要督促學生及時總結、歸納題型，可以借助小組討論、專題練習等活動引導學生運用化歸思想探索解題的技巧和規律.

比如，在教學《等比數列》后，教師可以先布置相應的練習題，然后引導學生在解題完成后對題目進行歸類總結：等比數列的習題大致分為三類，第一類是有關求公比，求第n項的通項公式類型問題，這類題型基本需要通過轉化等比數列各項之間的數量關系即可求出;第二類是求等比數列的前n項和的問題，解答這類問題既要運用等比數列的前n項和公式，又要把握好[an]和[Sn]之間關系來進行轉化;第三類是非常規數列問題，此類題型難度較大，靈活性強，常需要靈活運用化歸思想，將問題轉化為等比數列問題進行求解.

總而言之，化歸思想在高中數學解題中應用廣泛.教師要注意培養學生運用化歸思想的意識和能力，提升學生的分析、轉化能力.

（作者單位：安徽省宿松中學）