構造法在解高中數學題中的應用

宋勇

隨著高中數學題目難度的升級，解題方法也在不斷創新，構造法應用而生.構造法靈活利用數學表達之間的相關性，通過不同數學關系的轉換，達到出奇制勝的效果.這種方法改變了傳統的解題思維方式，有利于培養學生的創新思維能力，提升解題的效率.

一、構造方程

在解題時，教師要引導學生分析不同元素間的關系，把給定的條件關聯起來，建立等量關系，來構造方程.這是一種被廣泛使用的解題方法，能把復雜的數學問題條理化、清晰化.在構造方程時，教師首先要引導學生把握已知條件中的等量關系，回顧相關的定理、公式等，建立與所求目標之間的聯系.然后，學生再要研究如何一步步將函數、不等式、集合、幾何等形式轉變成方程，逐步得出答案.

例1. 若a、b、c都是實數，并且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，求證：a=b=c.

解析：根據題目中已知的等量關系式，我們可以將a2+b2+c2-ab-bc-ac=0化簡為a2-（b+c）a+（b2+c2-bc）=0，構造關于a的一元二次方程.

由于方程有實數，所以?=b2-4ac=[-（b+c）]2-4（b2+c2-bc）=-3（b-c）2≥0，

又因為b、c都是實數，所以（b-c）2≥0，

而（b-c）2≤0，所以（b-c）2=0，即b=c，

同理可得，a=b，所以a=b=c.

解答本題的關鍵是將上述關系式構造成關于a、b、c的一元二次方程，然后利用方程的判別式建立不等關系，從而證明結果.

二、構造圖形

構造圖形也是解答數學問題的一種途徑.它具有直觀、簡明、生動的特點.尤其是解答復雜的函數、線性規劃、立體幾何等問題，效果十分明顯.在解題時，教師要引導學生畫出代數式對應的圖形，挖掘其背后的幾何意義，然后根據題目的條件和所求目標尋找構造圖形的線索.

例2. 試求滿足|x|+|y|≤2的點（x，y）中整點（橫縱坐標都是整數）有多少個？

解析：學生對|x|+|y|≤2這一條件加以分析，就會發現一共可以分為4種情況，x、y都有可能是正數、負數，如此便可以得到四個不等式：x+y≤2（x≥0，y≥0）;x-y≤

2（x≥0，y<0）;-x+y≤2（x<0，y≥0）;-x-y≤2（x<0，y<0）.在直角坐標系中畫出這四個不等式對應的區域，可以得出一個正方形，如圖所示，經分析在正方形內的整數點共是13個.

三、構造函數

函數既是高中數學的重點知識，也是解答數學問題的利器.利用函數解答問題最重要的是要找好變量，確立不同變量間的關系.在構造函數時，學生要將多個變量轉化為關于一個或是兩個變量的函數問題，利用函數的圖象和性質來解答問題.

例3. 證明sinx

解析：本題采用常規方法求證較為困難，教師可引導學生將不等式問題轉化為函數問題，將不等式變形為x-sinx>0的形式，證明x-sinx>0恒成立即可.

可構造函數令f（x）=x-sinx，

而f（x）的導函數f′（x）=1-cosx>0，

所以f（x）=x-sinx是增函數，

由于f（x）>f（0）=0，所以f（x）>0，

即x-sinx>0.

在教師的指導下，學生通過構造恰當的函數，利用導數確定函數的單調性，從而證明不等式成立.

總而言之，構造法是一種靈活性較強的解題方式.教師不僅要給學生傳授構造法的應用技巧，也要組織學生進行相應的練習，來提升學生運用該方法的熟練程度.

（作者單位：江蘇省如皋市搬經中學）