解答有關直線被圓截得弦長問題的常用辦法

王靜靜

在直線與圓相交的問題中，經(jīng)常出現(xiàn)求直線被圓截得弦長的問題.解答有關直線被圓截得弦長問題的方法有幾何法和代數(shù)法.下面我們一起來探討一下.

一、幾何法

解答有關直線被圓截得弦長問題的幾何法是，根據(jù)圓的幾何性質，可知圓心距垂直于弦，從而構造直角三角形，然后利用點到圓心的距離公式求出圓心距，利用勾股定理建立關系式：[l22=r2-d2]（其中圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l），從而求出弦長.

例1.求過點M（-3，3）且被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為8的直線方程.

分析：由已知條件和圓的幾何性質，我們可先求出圓心距[d]，再求直線方程.

解：圓的方程x2+y2+4y-21=0可化為x2+（y+2）2=25，則圓的半徑為R=5，圓心為（0， -2）.

當所求直線斜率不存在時，直線方程為x=-3，滿足已知條件.

當所求直線斜率存在時，設斜率為k，則可設直線方程為kx-y+3k+3=0. 如圖1，設直線與圓交于[A，B]兩點，弦[AB]的中點為[M]，由圓的幾何性質可知[OM⊥AB]（[O]為坐標原點），[AB=2AM=2OA2-OM2=8].

又圓心（0，-2）到直線的距離[OM=|0+2+3k+3|k2+1=R2-42=3]， 則[k=-815].

所以直線方程為8x+15y-21=0.

綜上所述，所求的直線方程為[x=-3]或[8x+15y-21=0].

解答本題的關鍵是求直線被圓截得的弦長.由上題，我們可以看出，在解答有關直線被圓截得弦長問題時，利用圓的幾何性質往往可以減少計算量.在解答本題時，我們要注意所求直線的斜率是否存在，否則會“漏解”.

二、代數(shù)法

求直線被圓截得的弦長的代數(shù)方法是：將直線與圓的方程聯(lián)立成方程組，消去x或者y得出一個關于x或者y的一元二次方程，然后利用韋達定理，建立關系，設斜率為k（k≠0）的直線與圓相交于A，B兩點，A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=[1+k2|x1-x2|=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=1+1k2·|y1-y2|=1+1k2·（y1+y2）2-4y1y2]，將方程中兩個根的和與積代入上式即可求出弦長.

當直線與圓的交點坐標容易求解時，我們可以直接通過解直線方程與圓方程所組成的方程組，得出交點的坐標，然后利用兩點間的距離公式來得出弦長.

例2.已知AC，BD為圓O：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，[2]），求四邊形ABCD的面積的最大值.

分析：由于AC與BD互相垂直，所以四邊形ABCD的面積等于|AC|·|BD|，AC與BD是已知圓的弦，故需要首先將弦長表示出來.

解：如圖2，取AC的中點F，BD的中點E，則OE⊥BD，OF⊥AC.

又∵AC⊥BD，

∴四邊形OEMF為矩形，

∴[d21+d22=OM2=3].

又|AC|=2[4-d21]，

|BD|=2[4-d22]，

∴S四邊形ABCD=|AC|·|BD|=2[4-d21]·[4-d22]

=2[-（d22-32）2+254].

∵0≤[d22]≤3.

∴當[d22]=[32]時，S四邊形ABCD有最大值為5.

該解法首先利用圓的幾何性質，根據(jù)弦心距、弦長的一半以及半徑之間的關系將弦長表示出來，然后將原問題轉化為函數(shù)的最值問題來使問題順利獲解.

在解答有關直線被圓截得弦長的問題時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，我們一般用幾何法;若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達式較繁瑣或不易得出，我們一般用代數(shù)法。值得注意的是，在解答此類問題時，要優(yōu)先選擇幾何法，然后再考慮代數(shù)法.

（作者單位：山東省聊城市東阿縣實驗高中）