巧妙構造函數，解答抽象函數不等式問題

周群林

我們把沒有給出具體解析式的函數稱為抽象函數.所以，抽象函數不等式問題是很多同學學習中的難點問題.在解答抽象函數不等式問題時，同學們要注意運用發散思維，展開想象，聯系所學的知識點和已有的解題經驗，從多個角度思考解題的方案.

例1.函數[f（x）]在定義域（0，+[∞]）內恒滿足[：①f（x）>0，②2f（x）<xf ′（x）<3f（x） ，]其中[F′x]為的導數，則（? ? ? ?）.

A.[14<f1f2<12 ] B.[116<f1f2<18]

C.[13<f1f2<12] D.[18<f1f2<14]

解析： 令[gx=fxx2，x∈0，+∞]，

則[g′x=xf ′x-2fxx3，]

因為 [?x∈0，+∞，2fx<xf ′x<3fx ，]

所以[fx>0，g′x>0，]

所以函數[g（x）]在[x∈（0，+∞）]上單調遞增，

所以[g1<g2 ，]即[4f1<f2，f1f2<14，]

令[hx=fxx3? ，? x∈0，+∞? ，]則[h′x=xf ′x-3fxx4? ?，]

因為[?x∈0 ，+∞ ，2fx<xf ′x<3fx ，]

則[h′x<0 ，]

所以函數[h（x）]在[x∈（0，+∞）]上單調遞減，

所以[h1<h2 ，]即[f（1）>f（2）] ，[18<f（1）f（2）]，故選D.

本題主要考查了函數的導數與單調性的關系.解答本題的關鍵是根據題意，逆用求導公式構造恰當的函數，然后利用導數來確定函數的單調性，最后得出結論.

例2.已知定義在R上的可導函數[y=f（x）]的導函數為[f ′x]滿足[f ′x<fx，]且[y=fx+1]為偶函數，[f2=1]，則不等式[fx<ex]的解集為（? ? ? ）.

解析：因為[y=fx+1]偶函數，所以[y=fx+1]的圖象關于[x=0]對稱，則[y=f（x）]的圖象關于[x=1]對稱，

所以[f2=f0，]又因為[f2=1，]所以[f0=1，]

設[gx=fxexx∈R? ?，]則[g′（x）=f? ?′xex-fxexex2-f? ?′x-fxex，]

又因為[f ′x<fx，]所以[f ′x-fx<0，]

所以[g′x<0 ，]所以[y=gx]單調遞減，

因為[fx<ex，]所以[fxex<1]，即[gx<1，]

又因為[g0=f0e0=1]，所以[x>0.]

本解法主要是根據函數的奇偶性構造出函數，從而得到抽象函數不等式的解集.同學們在解題的過程中，要善于建立題設中的條件與所求結論之間的關系，構造適當的函數，架起條件與所求結論之間的橋梁，使問題順利獲解.

例3.已知函數[f（x）]的定義域為R，其圖象關于點（-1，0）中心對稱，其導函數[f ′x ，當x<-1]時， [x+1fx+x+1f ′x<0]，則不等式[xfx-1>f0的解集為]（? ? ?）.

解析：由題意設[gx=x+1fx ，]

則[g′x=fx+x+1f ′x ，]

因為當[x<-1時，x+1fx+x+1f ′x<0]，

所以當[x>-1時，fx+x+1f ′x>0]，則[g（x）]在（-∞，-1）上遞增，其圖象關于點（-1，0）中心對稱，所以函數[f（x-1）]的圖象關于點（0，0）中心對稱，所以函數[f（x-1）]為奇函數，

令[hx=gx-1=xfx-1 ，]

所以[h（x）]是R上的偶函數，且在（-∞，0）上遞增，

由偶函數的性質得，函數[h（x）]在（-∞，0）上遞減，

由于[h1=f0 ，]

所以不等式[xf（x-1）>f0 ，]化為[h（x）>h（1）]，

解得[-1<x<1，]

故不等式的解集是（-1，1）.

在解答本題的過程中，我們根據函數的對稱性來構造函數[g（x）]，再根據函數的奇偶性和對稱性，得出抽象函數不等式的解.

雖然抽象函數不等式問題中的函數較為抽象，題目的難度較大，但是我們只要能仔細分析題意，聯系所學的函數性質、圖象、求導公式等，合理構造恰當的函數，問題便能迎刃而解.

（作者單位：江蘇省揚州市高郵市臨澤中學）