圓錐曲線的焦半徑公式及其應用

白建紅

圓錐曲線是高中數學的重點內容，也是高考必考的內容之一.圓錐曲線的焦半徑是指連接圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、拋物線）上一點與對應焦點的線段的長度.圓錐曲線的焦半徑公式在解答圓錐曲線題中應用較為廣泛.在教學中，教師應指導學生掌握圓錐曲線的焦半徑公式，并將其應用于解題，以提升解題的效率.

一、橢圓的焦半徑公式

如圖，設[M（x0，y0）]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上的一點，[r1]和[r2]分別是點[M]與點[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]的距離，那么左焦半徑[r1=a+ex0]，右焦半徑[r2=a-ex0]，其中e是離心率.

例1.[F1、F2]是橢圓[x24+y2=1]，求 [|PF1||PF2|]的最大值和最小值.

解析：設[P（x0，y0），]

則[|PF1|=2+32x0，|PF2|=2-32x0，]

所以[|PF1|·|PF2|=4-34x20.]

因為P在橢圓上，所以[-2≤x0≤2]，[|PF1||PF2|]最大值為4，最小值為1.

在進行解題教學時，教師首先要引導學生明確PF1、PF2為橢圓的焦半徑，然后根據橢圓的方程得出PF1、PF2的表達式，根據橢圓的范圍來確定[|PF1||PF2|]的最值.橢圓的焦半徑公式在解答此類問題的過程中能起到重要的作用.

二、雙曲線的焦半徑公式

已知雙曲線標準方程[x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）]，[P（x，y）]為雙曲線上的任意一點，且[F1]為左焦點、[F2]為右焦點，e為雙曲線的離心率.教師可以引導學生由雙曲線的第二定義得出：對任意x而言，總有[|PF1|=|（ex+a）|;|PF2|=|（ex-a）|].若點[P（x，y）]在右支上，有[|PF1|=ex+a] ;[|PF2|=ex-a];若點[P（x，y）]在左支上，有[|PF1|=-（ex+a）] ;[|PF2|=-（ex-a）].雙曲線與橢圓的焦半徑公式極其相似，在教學中，教師要引導學生對這兩部分內容進行區分.

例2.雙曲線[x29-y216=1]，[F1、F2]，點P在雙曲線上，若[PF1⊥PF2]，則點P到x軸的距離為（? ? ? ?）.

解析：不妨設P在雙曲線的右支上，設[P（x0 ，y0）] ，

則[|PF1|=ex0+a=3+53x0，]

[|PF2|=ex0-a=53x0-3，]

所以[|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2]，

即[3+53x02+53x0-32=100]，解得[x20=26925]，

又因為[x29-y216=1]，所以[y20=25625，]

故點P到x軸的距離為[156].

三、拋物線的焦半徑公式

若拋物線[y2=2px （p>0）]，[P（x ，y）]為拋物線上的一點，則其焦半徑公式為[|PF|=x+p2].若拋物線方程為[y2=-2px（p>0），|PF|=p2-x]，若拋物線方程為[x2=2py（p>0）? ?，|PF|=p2-y;]若拋物線方程為[x2=-2py][（p>0） ，|PF|=p2+y.]

例3.過拋物線的焦點F的弦AB被F分成長為[m，n（m>n）]的兩段，那么有（? ? ? ）.

A.[m+n=mn] B.[m-n=mn]

C.[m2-n2=mn] D.[m2-n2=mn]

解析：設[A（x1，y1），B（x2 ，y2）]，

則[m=|AF|=1+x1，n=|BF|=1+x2.]

將[y=k（x-1）]，[y2=4x]， [k2x2-2（k2+2）x+k2=0? ，]

所以[x1x2=1，]

[則mn=（1+x1）（1+x2）=1+（x1+x2）+x1x2=2+（x1+x2）]=[m+n].故選A.

由于橢圓、雙曲線、拋物線的焦半徑公式較為相似，因此在教學中，教師應引導學生將橢圓、雙曲線、拋物線的焦半徑公式進行對比，了解它們的區別和聯系，以加深對焦半徑公式的理解，這樣，學生在解答相關問題時，能舉一反三.

（作者單位：甘肅省環縣第四中學）