運用數學思想解答函數問題的技巧

王漢奎

數學思想有很多，將其運用于解答函數題，有助于拓寬解題的思路，提升解題的效率.在解題教學中，教師要重視講解各種數學思想方法的應用條件和技巧，開展有針對性的訓練，讓學生學會靈活地運用數學思想來解題.

一、分類討論思想

當遇到題目條件較復雜的函數問題時，教師首先要引導學生根據題目的條件，針對題目的各種情況進行分類，逐類進行討論，再綜合求出結果.利用分類討論思想將問題分情況進行討論，思路會更加清晰.

例1.求函數[f（x）=lg（ax-k2x）]（a>0且a≠1，k∈R）的定義域.

解析：在解答此題時，教師可以指導學生假設函數[f（x）]為有意義，學生結合已學的對數知識可以得到[ax-k2x>0]，從而得到[a2x>k].此時，教師可以指導學生對[k]進行分情況討論，當[k≥0]時，x∈（0，+∞）;當[k<0]時，對不等式兩邊取對數，可以發現若[k<1]，則x∈R;若[k≥1]，則[x]∈?.綜上，當[0≤k≤1]時，x∈（0，+∞）;當k≥1時，x∈?.

在運用分類討論思想解題時，教師要提醒學生確保分類討論的完整性，防止因為分類的遺漏或重復而出現的問題.

二、數形結合思想

數形結合思想是在解答函數題中運用較多的一種解題方式. 運用數形結合思想解題的關鍵是，根據題目的要求靈活地進行“數”與“形”之間的互化，建立“數”與“形”之間的關系，使問題得以簡化.在解題時，教師要引導學生將函數題目中抽象的數量關系，通過圖形以直觀化的形式展現出來，簡化解題的過程，優化解題的方案.

例2.設函數[f（x）=x-[x] ，x≥0，f（x+1） ，x<0，]其中[x]表示不超過x的最大整數，如[-1.5]=-2，[2.5]=2，若直線y=? k（x-1）（k<0）與函數[y=f（x）]的圖象只有三個不同的交點，則k的取值范圍為（ ）.

解析：教師可以首先引導學生作出函數[f（x）=x-[x] ，x≥0，f（x+1） ，x<0，]的圖象，如圖所示.

然后，學生由直線[y=k（x-1）（k<0）]與函數[y=f（x）]的圖象只有三個不同的交點，可以得到[-1<k≤-12].

運用數形結合思想解題，能夠將題目中所有的信息展示在圖形上，做到一目了然，學生可以用最簡單的方法得到最準確的結果.

三、方程思想

函數與方程之間的關系較為密切.在解題時，令函數[y=f（x）=0]，就將函數問題轉化為方程問題.在函數中，方程思想主要應用于求函數的零點及其取值范圍、討論二次函數的根的分布情況、函數圖象與x軸的交點問題等.

例3.已知函數[f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）]有唯一零點，則a=（ ）.

A.- [12] B.[13] C.[12] D.1

解析：由[f（x）=0，a（ex-1+e-x+1）=-x2+2x].

[ex-1+e-x+1≥2ex-1·e-x+1=2]，當且僅當[x=1]時取“=”.

[-x2+2x=-（x-1）2+1≤1]，當且僅當[x=1]時取“=”.

若a>0，則[a（ex-1+e-x+1）≥2a]，

要使[f（x）]有唯一零點，則必有[2a=1]，即[a=12].

若[a≤0]，則[f（x）]的零點不唯一.

綜上所述，[a=12].

該題主要考查了方程思想的應用.在解題時，教師首先要引導學生將函數問題轉化為方程的根的問題，然后利用基本不等式確定a的取值.方程思想在解函數題中應用較廣泛，教師要組織學生開展有針對性的訓練，幫助他們提升運用方程思想解題的能力.

在解答函數題時靈活地運用數學思想，對解題有很大的幫助.因此，在解題教學中，教師不僅要講解解答函數題的基本方法，還要指導學生靈活地運用數學思想方法，提升解題的技能.

（作者單位：浙江省紹興市新昌縣鼓山中學）