怎樣用代換法解高中數學題

李小鵬

代換法是指利用知識間的關聯性把復雜的數學問題簡單化，從而轉化數學關系，提高解題效率的一種解題方法.常見的代換法有等量代換、變量代換、三角代換、比值代換等.教師要在教學中引導學生熟練運用代換法，提升解題的效率.

一、運用等量代換，簡化解題過程

等量代換是指通過挖掘題目中暗含的信息，用一些量去代表另一些量，把題目中的已知數學關系轉變成簡潔明了的數學表達的方法.在解題教學中，教師要引導學生梳理題目中涉及的各種數量之間的關系，將各種繁瑣的關系用簡單的量表示出來，進行等量代換，再通過分析、組合等途徑，得出最終結果.

例1. 一個袋子里裝有6個大小、形狀完全相同的小球，其中一個編號為1，兩個編號為2，三個編號為3.現從中任取1個球，記下編號后放回，再任取1個球，則兩次取出的球的編號之和等于4的概率是多少？

解析：教師可以指導學生運用等量代換法，設第一次取出的球為x，第二次取出的球為y，則兩次取球的基本情況（x，y）有：

學生通過列樹狀圖發現（x，y）總共有36種可能性，而x+y=4 的情況有10種，所以得出概率為[p=1036=518].

有些概率問題要求求出一個事件所包含的所有可能性的情況，而這些結果如果用語言或者文字表示較為繁瑣，用合適的量代換，不僅能簡化解題的過程，還能加快解題的速度.

二、運用變量代換，轉換解題的思路

變量代換是一種引入變量、轉化關系的解題方式.當遇到運用常規方法求解比較困難的問題時，教師可以引導學生嘗試找出一個可以替代的變量，建立新變量與已知條件間的關系式，靈活運用相關的性質、公式等來轉換解題的思路.

例2. 求函數[y=log12（x2+6x+13）]的值域.

解析：本題中的變量過于復雜，運用常規方法求解較為困難.此時，教師可以指導學生運用變量代替某些量，來轉換解題的思路.令[u=x2+6x+13=（x+3）2+4≥4]，所以這個函數可以看作是由[y=log12u] 和[u=（x+3）2+4]兩個函數復合而成的，而內函數的值域是[4，+∞），以（-3，4）為最低點，先遞減后遞增;而外函數[y=log12u]的底數小于1，所以外函數在[4，+∞）上遞減，故[y=log12u≤log124=-2]，因此函數[y=log12（x2+6x+13）]的值域是（-∞，-2].

學生利用變量代換拆分了原有函數，找到了兩個函數解析式之間的連接點，內函數的值域就是外函數的定義域，然后一步一步掃除了思維障礙，順利解題.

三、運用三角代換，降低解題的難度

三角代換之所以會成為一種常用的解題方法，其原因在于三角函數的性質、公式眾多，規律性極強，如果能將其它數學表達式轉化為三角函數，就會增加許多可供利用的條件，大大降低解題的難度.教師要在平時的教學中多培養學生的聯想能力，讓學生學會結合三角函數的圖象、性質、公式，將其它數學表達式進行代換，掌握三角代換的技巧.

例3.若實數x、y滿足[4x2-5xy+4y2=1]，設[S=x2+y2]，求[1Smax+1Smin]的值.

解析：教師可以先讓學生尋找一些與三角函數相關的信息，學生就會由[S=x2+y2]聯想到cos2a+sin2a=1，把x、y進行三角轉換，設[x=Scosa]，[y=Ssina]，將其代入[4x2-5xy+4y2=1]中，得[4S-5S·sinacosa=1]，[解得S=28-5sin2a;]又因為-1≤sin2a≤1，所以[213≤]

[28-5sin2a≤23]，[1Smax+1Smin=32+132=8].

該解法正是根據[S=x2+y2]與[cos2a+sin2a=1]的相似性，實現三角代換的.

總而言之，運用代換法能使復雜的數學關系明朗化.教師要重視鍛煉學生的分析、聯想能力，讓學生學會自主運用代換法來提升解題的效率.

（作者單位：寧夏回族自治區青銅峽市高級中學）