例談一道二元最值問題的多種解法

李海艷

二元最值問題主要考查同學們的運算和轉化能力，涉及較多的數學思想方法.此類問題有一定的技巧性，一直是高考、各地模擬考試、競賽以及自主招生考試的熱點問題. 本文以一道二元最值問題為例，從基本不等式法、方程思想、三角換元、幾何法等四個方面探討了解答此類問題的方法.

例題：（2011年浙江省高考理）設[x，y]為實數，若[4x2+y2+xy=1]，求[2x+y]的最大值.

解法一：基本不等式法.

因為[1=4x2+y2+xy=2x+y2-3xy=2x+y2-322xy]，又[2xy≤（2x+y2）2]，所以[1≥2x+y2-32（2x+y2）2=582x+y2]，因此[2x+y≤2105].

基本不等式法是解答二元變量最值問題的首選方法.在運用基本不等式法解題時，我們要注意基本不等式的應用條件“一正二定三相等”，一定要確保在等號成立的情況下確定最值.基本不等式法的應用關鍵是將已知的式子湊配或者分拆成基本不等式中的和或者積的形式.

解法二：方程思想.

令[2x+y=t]，所以[y=t-2x]，代入[4x2+y2+xy=1]可得[6x2-3tx+t2-1=0]，由方程有解，可得[Δ≥0]，即[Δ=9t2-24（t2-1）=8-5t2≥0]，

解得[-2105≤t≤2105]，

當[t=2105]時，

[x=310+5220，y=10-5210，]或[x=310-5220，y=10+5210，]

所以[2x+y]的最大值為[2105].

不等式、方程、函數之間的關系較為密切.二元變量最值問題可以轉化為方程有解的必要條件，尤其可以轉化為二次方程的問題.我們可以利用“根的判別式”這個有力武器來求得最值，但一定要驗證取等號成立的條件.

解法三：三角換元法.

因為[4x2+y2+xy=1]，配方可得[（y+12x）2+154x2=1].

令[y+12x=cosθ]，[152x=sinθ]，

解得[x=21515sinθ]，[y=cosθ-1515sinθ].

因此，[2x+y=cosθ+155sinθ=2105sin（θ+φ）≤2105]，其中[tanφ=153].

所以[2x+y]的最大值為[2105].

當所求問題中含有形如[m+n=k]，[m2+n2]，[m2+n2=r]，[1+m2]，[1-m2]等式子，或者通過恒等變形可化為這類式子時，我們可考慮引入三角函數，通過三角換元將問題轉化為三角函數問題來求解.

解法四：幾何法.

因為[4x2+y2+xy=1]，將其配方可得[（y+12x）2+154x2=1].

令[y+12x=a]，[152x=b]，解得[x=21515b]，[y=a-1515b]，且[a2+b2=1].

令[z=2x+y=a+155b]，則其幾何意義可表示為當點[P（a，b）]在圓[a2+b2=1]上運動時，求[z=a+155b]的最大值、由直線與圓的位置關系，可得[z1+35≤1]，解得[-2105≤z≤2105].

所以[2x+y]的最大值為[2105].

有些代數問題有明顯的幾何特征，或經適當的變形后可用幾何圖形、函數圖象來呈現出來，此時，我們運用數形結合思想，通過構造幾何圖形，利用幾何知識來求解，可以使問題變得直觀化.

本文以一道二元最值問題為例，從不同的角度進行探究.同學們以后遇到類似問題時，可以從這四個考角度來探討，建立不同的數學模型，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省揚州市寶應縣安宜高級中學）