巧求雙曲線的標準方程

方佳佳

求雙曲線的方程是雙曲線中的基本問題，也是常見問題.要求雙曲線的方程，首先要根據題設巧妙地設出雙曲線的標準方程.那么如何設方程才能夠簡化問題呢？

一、根據雙曲線上兩點，巧設方程

由于焦點位置未知，所以我們只需設雙曲線的方程為[mx2+ny2=1mn<0]，可避免分類討論.

例1.已知雙曲線過[P1（-2 ，32? 5）]和[P2（43? ?7，4）]兩點，求雙曲線的標準方程.

解析：由題意知，設雙曲線的標準方程為[mx2+ny2=1mn<0]，

∵點[P1，P2]在雙曲線上，∴[4m+454n=1，169×7m+16n=1，]

解得[m=-116，n=19，]

∴所求雙曲線方程為[-x216+y29=1]，即[y29-x216=1].

本題中將雙曲線的方程設為[mx2+ny2=1mn<0]，運算簡捷、方便，同時此法在橢圓中也有類似的應用.

二、根據雙曲線的漸近線，巧設方程

若已知雙曲線的漸近線，我們可將漸近線“還原”成雙曲線方程，并且使方程只含一個參數.

例2.根據下列條件，分別求出雙曲線的標準方程：

（1）與雙曲線[x24-y23=1]有共同的漸近線，且經過點[M3，-2];

（2）焦距為10，漸近線方程為[y=±12x].

分析：（1）與雙曲線[x2a2-y2b2=1]有公共的漸近線，可巧設雙曲線方程為[x2a2-y2b2=λλ≠0];（2）根據漸近線方程[y=±bax]，可巧設方程為[x2a2-y2b2=λλ≠0]，從而求解雙曲線方程.

解析：（1）設所求雙曲線方程為[x24-y23=λλ≠0]，

又∵點[M3，-2]在雙曲線上，

∴[44-93=λ]，即[λ=-2]，

∴所求雙曲線的標準方程為[x26-y28=1].

（2）由題意知，漸近線方程為[y=±12x]，

可設雙曲線的方程為[x24-y2=λλ≠0]，

即[x24λ-y2λ=1]，

由[a2+b2=c2]，得[4λ+λ=25]，即[λ=±5]，

∴所求雙曲線的標準方程為[x220-y25=1]或[y220-x25=1].

本題中根據雙曲線的漸近線方程，把雙曲線的方程設為[x2a2-y2b2=λλ≠0]，大大減少試題的運算量，方法顯得靈活，輕便.

三、根據雙曲線的離心率，巧設方程

離心率可以確定雙曲線的形狀，也確定了實軸與虛軸長度的比例，故設方程時只需一個待定參數.

例3.求過點[P3，-2]，離心率為[e=52]的雙曲線的標準方程.

分析：根據雙曲線的離心率，巧設方程的形式，簡化運算.

解析：由題意知[e=52]，則[ca=52]，

則[b2=c2-a2=14a2]，即[a2=4b2]，

設雙曲線的方程為[x24-y2=λλ>0]或[y24-x2=λλ>0]，

又點[P3，-2]在曲線[x24-y2=λλ>0]上，

解得[λ=14];

點[P3，-2]在曲線[y24-x2=λλ>0]上，此時[λ]無解.

∴所求雙曲線的方程為[x2-4y2=1].

當然，雙曲線標準方程的設法沒有固定的模式，我們應從實際出發，盡量使其含有一個待定參數，這樣可優化解題過程.但無論怎么設雙曲線的標準方程，方程思想貫穿解題全過程.

（作者單位：廣東省汕頭市達濠第二中學）