如何運用化歸思想解高中數學題

張文娟

化歸思想是轉化和歸結的簡稱.在解題中靈活運用化歸思想，可以使問題由難化易，由繁化簡.化歸思想不僅是一種基本的思維策略，也是一種常用的解題方法，其關鍵是把問題等價轉化成另一種形式來進行解答.常見化歸思想的應用有數與形之間的轉化、常量與變量之間的轉化、相等與不相等之間的轉化等.本文結合實例，來探討一下化歸思想在解高中數學題中的應用.

一、數與形之間的轉化

數與形是數學中最常見的兩種形式.利用圖形可以使問題變得更加直觀，結合數量關系式可以把問題中的內在關系呈現出來，兩者之間相輔相成、不可分割.因此，在解題時，我們要利用化歸思想，靈活進行數量關系式與圖形之間的轉化，提升解題的效率.

例1.已知a[>]0，b[>]0，且a≠b.試比較[a2+b22]和[2aba+b]的大小.

解析：如圖，設[BC、AC]的長度分別為[a]、[b].因為[a≠b]，不妨設[a>b]，以[a]，[b]為直角邊，作直角三角形[ΔABC]，則斜邊[AB=a2+b2]，設[CM]、[CD]分別是[ΔABC]的[BC]邊上的中線和角平分線，則[CM=a2+b22]，

由三角形的面積公式可得

[12a?CDsin45°+12b?CDsin45°=12ab]，

解得[CD=2aba+b].

顯然，當 [a≠b]時，[CM>CD]，

所以[a2+b22>2aba+b].

該解法主要是利用化歸思想，通過數與形之間的轉化，將代數問題轉化為幾何問題來求解，該方法直觀、便捷.本題也可以采用代數方法來求解.

二、常量與變量之間的轉化

有些問題較為復雜，含有很多與常量、變量相關的問題，此時，我們若能將常量、變量進行適當的轉化，有利于轉換解題的思路，優化解題的方案.由于變量是一個不確定的量，所以在解題時，為了便于解題，我們可以利用化歸思想，將變量視為常量，或者將變量轉化為常量來求解.

例2.已知兩點A（-1，0），B（0，2），點P是圓（x-1）2+y2=1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是（ ）.

解析：由于P是一個動點，我們無法確定它的位置，需要利用化歸思想，將這個變量轉化為常量，利用半徑以及圓心到直線AB的距離來求解.

解：由題知，圓的半徑為1，直線AB的方程為[x-1+y2=1]，即2x-y+2=0，

圓心（1，0）到直線AB的距離[d=2+25=455]，則點P到直線AB的距離最大值為[455+1]，最小值為[455-1]，

又[|AB|=5]，則[（S△PAB）max=12×5×455+1=12（4+5）]，

[（S△PAB）min][=][12][×][5][×]（[455-1）][=][12（4-5）].

三、相等與不相等之間的轉化

相等與不相等之間的轉化，常用于解答與不等式或者與等式有關的最值問題.在解題時，我們運用化歸思想，將相等關系轉化為不相等關系，然后利用基本不等式、柯西不等式等來解答，或將不相等關系轉化相等關系，利用方程思想來解答.

例3.已知a，b都是正實數，且a+b=2，求證：[a2a+1+b2b+1≥1].

證明：∵[a>0]，[b>0]，[a+b=2]，

∴[a2a+1+b2b+1-1=a2（b+1）+b2（a+1）-（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）]

[=a2b+a2+b2a+b2-ab-a-b-1（a+1）（b+1）=1-ab（a+1）（b+1）].

∵[a+b=2≥2ab]，∴[ab≤1].

∴[1-ab（a+1）（b+1）≥0]，∴[a2a+1+b2b+1≥1].

在解答本題的過程中，我們利用化歸思想，根據相等關系式a+b=2，以及完全平方公式，通過通分將[a2a+1+b2b+1]化簡，然后利用基本不等式來證明不等式[a2a+1+b2b+1≥1]成立.

總之，化歸思想在解答數學題中應用廣泛，是一種靈活、簡便的解題方式.在運用化歸思想時，同學們要注意展開聯想，根據題目的已知條件或結論靈活進行等價變換，從而找準解題的方向.

（作者單位：江蘇省高郵市臨澤中學? ）