例談算法在求解超越方程中的應用

宋美蕓 謝佐杰

算法是高中數學中的重要內容，也是計算機科學的基礎，是連接問題與計算機程序語言之間的橋梁.若一元方程[f（x）=0]的左端函數[f（x）]不是關于x的多項式，那么我們就將類方程稱之為超越方程.超越方程一般沒有解析解，而只有數值解或近似解.求解超越方程近似解的方法有很多，而利用算法或者計算機程序語言來求解是最為簡便的一種方法.筆者結合一個實際應用問題，來談一談算法在求解超越方程中的應用.

問題：內江某玻璃廠的工人需要切割一塊如圖1所示的玻璃窗.若該窗戶的橫梁長為a、豎梁高為b、圓弧長為[l]，為了能準確切割出這塊玻璃，工人必須知道此圓弧半徑[R].求該圓弧的半徑[R].

解析：如圖2，我們先作輔助線，將扇形擴充為一個完整的圓，連接AB、AO、BO，其中AO、BO為圓的半徑，[AB]為圓的一條弦，作弦[AB]的中垂線DO，則DO必過圓心且平分[∠AOB]，令弧[AB]所對的圓心角∠AOB=θ（θ為弧度角），建立等式[l=θ?R]，[sinθ2=a2+b22R]，兩式聯立消去[θ]得[sinl2R=a2+b22R].該方程屬于超越方程，其中R是要求的未知量，該方程無法直接求解.一般，我們會采用常規方法，利用函數與方程的思想，令[fR=sinl2R][=a2+b22R]，在同一個平面直角坐標中分別作出這兩個函數的圖象，于是兩圖象交點的橫坐標即為方程的解.此方法在理論上可行，但在實際操作中存在很大的困難.因為一般我們很難作出準確的圖形，并且通過畫圖得出的結果必然存在很大的誤差，所以這種方法并不是解答這個問題的最好方法.

我們可以轉換思路，利用算法來求解.首先，我們需要確保數據的準確性，將數據的單位設置為毫米，這樣可以將誤差控制在0.01毫米內.然后，我們可以從0.01毫米開始取值，讓R的值逐次遞增0.01，分別將其代入方程左邊和右邊的兩個等式[M=sinl2R]、[N=a2+b22R]中，并算出M和N的值，判斷|M-N|是否小于或等于0.001，其程序框圖如圖3所示.如果該值小于或等于0.001，我們就可以近似認為m=n，此時R的值就是方程的解.人工計算肯定需要很長的時間，但計算機可以以每秒上億次的計算速度來進行計算，得出結果所花的時間不足一秒，所以此方法可行.

該算法的關鍵是在R值遞增的過程中，判斷等式兩邊的差值是否小于或等于0.001.由于三角函數的正弦值不會大于1，我們可以將程序設計為：當等式兩邊的差值大于或等于1時，R每次遞增1;當等式兩邊的差值小于1時，R每次遞增0.01，這樣可以有效地提高運算的效率，并且使最終計算出的結果誤差在0.01內.如果我們想提高計算的精確度，就可以把當差值小于1時，R每次遞增的值設置得更小，這樣可以按照我們的需要來設置算法.

該算法的程序如下：

$（function （ ） {

var $a = $（"#input-a"）;

var $b = $（"#input-b"）;

var $l = $（"#input-l"）;

$（"#getResult"）.on（"click"， function （? ? ? ） {

var l = parseFloat（$l.val（ ））; //弧長

var a = parseFloat（$a.val（ ））; //長

var b = parseFloat（$b.val（ ））; //高

if （isNaN（l） || isNaN（a） || isNaN（b））

{ alert（"只能輸入數字"）;

return; }

var r = 1; var d = null;//差值小于0.001

var count = 0; //計算次數

var c = Math.sqrt（a * a + b * b）;

do { var nd = Math.abs（Math.sin（l / （2 * r）） * （2 * r） - c）;

if （nd <= 1） { //差值小于1

r += 0.01;? }

else { r += 1;? }

count++;? ? d = nd;

if （count > 200000） { alert（'無法計算出結果'）;

return;? ?}

} while （d > 0.001）;

alert（"r=" + r.toFixed（2））;

return false;? }）}）;

其程序架構過程如圖4所示，其運算過程如圖5所示.

如果所輸入的參數不合要求，出現如[l≤a2+b2]的情況，則計算結果會提示“無法計算出結果”.為了防止程序進入死循環，我們需要增加內容：在計算200000次后，仍然沒有找到滿足條件的解，則為無解.此方法還可以推廣到解答其它不易直接求解的方程中.

（作者單位：四川省內江市第一中學）