用矛盾的觀點探析轉化與化歸思想

摘 要：數學的轉化與化歸思想巧妙地利用了哲學的矛盾論，將矛盾雙方由對立轉化為相互統一，充分發揮雙方的優勢，使問題得到最佳的解決，體現了數學的和諧統一美。本文探析了數學解題過程中特值法、一般化思想、函數思想、正難則反思想、主次元地位轉化、化異求同等方法的理論依據和基本步驟。

關鍵詞：對立與統一;轉化與化歸;特殊與一般;函數方程與不等式;正難則反;主次地位

老子說“有無相生，難易相成，長短相形，高下相傾，音聲相和，前后相隨”;“禍兮福之所倚，福兮禍之所伏”。世界上一切事物都包含著相互對立又相互統一的兩個方面，即矛盾雙方共處一個共同體中。因為它們不僅有相互排斥、相互對立的斗爭性，又有著相互吸引、相互聯結的同一性，所以矛盾雙方相互滲透、相互包含，并在一定條件下可以相互轉化。數學的轉化與化歸思想便是巧妙地利用了矛盾的這些特性，在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段通過轉化，進而使問題得到解決。有代表性的轉化主要有：正難則反、主次地位、化異求同等。下面簡單探析這些轉化的產生因何緣起哲學思想的矛盾論。

一、正難則反：當題目的正面出現情況較為復雜或者帶有“至多”、“至少”等詞及否定性命題時，可先從反面求解再取反面答案的補集即可。

例1.（2017全國卷Ⅱ）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為（）

A. B. C. D.

分析：正面求解要分類討論，比較繁。如果意識到大小對立且概率相等，除此外即是兩次號碼相等，而號碼相等的情況比較清楚，個數為5.因為基本事件的總數是52=25，因此滿足條件的事件A的個數為，于是

例2.已知集合若三個集合中至少有一個不是空集，則實數a的取值范圍為

分析：“至少有一個不是空集”包含7種不同情況，而它的反面是“都是空集”，只需由不等式組得，再取補集即可。

可見事物中矛盾雙方正強則反弱，正難則反簡，對待這種問題避強攻弱方為上策。

二、主與次的轉化：在含有多個變元的命題中，將其中一個作為主元，其它變元看作常量，從而起到減元并簡化運算或改變思考角度的目的。正如矛盾論所言，主與次是對立的。在解一道題時將哪個變元視為主元，都是為了解決矛盾，簡化過程，因此選擇必須恰當。

例3.已知函數。

（1）討論f（x）的單調性及最值;

（2）當t=2時，若函數f（x）恰有兩個零點求證：

分析：（1）是導函數應用的基本題型。對于（2）證明零點滿足某個性質時，實際上是需要對零點在數值上進行精確求解或估計，需要對零點進行更高要求的研究

因為f（x）恰有兩個零點所以，

即化簡為

設則

零點的變化與t有關，而于是需證明上式大于零，易得，故重點考慮分子，于是設函數所以h（t）在遞增，因此成立。

在多個變元中尋找它們之間的關系，結合已知條件和目標要求，在不同階段集中探討某個主變元，各個擊破。通過構造新的函數，多次求導分析，需要靈活運用函數思想、化歸思想。同時也需要較強的抽象概括能力、綜合分析能力和解決問題的能力。

參考文獻

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作者簡介： 薛宗華， 男， 1969年7月，漢族， 福建省仙游縣，本科，中學高級教師，研究方向：中學數學教學