勻強磁場中兩例運動學問題的深入分析

楊洹浩 熊令

摘要：為了讓學生真正體會某些復雜運動的過程，通過利用在線網絡畫板將兩道例題進行深入分析并展示，并由數學證明讓學生簡單體會學科交融的思想。

關鍵詞：帶電粒子的運動;勻強磁場;臨界問題;多解問題

為了更好的研究運動的規律，尤其是帶電粒子在磁場中的運動的臨界問題，我們可以用“網絡畫板”（www.netpad.net.cn）或者“幾何畫板”來解決，再利用數學知識加以證明，讓學生真正體會這種身臨其境的感覺。

一、圓形磁場邊界的臨界問題

例：半徑為R、2R的兩個同心圓，圓心為O，大圓和小圓之間區域有垂直于紙面向外的勻強磁場，其余區域無磁場。一重力不計的帶電粒子從大圓邊緣的P點沿與PO連線成某一夾角θ（θ>45°）以速度v射入磁場，若恰好不進入小圓，求半徑的取值范圍？

分析：一看到此題的關鍵條件“若恰好不進入小圓”，我們腦海里應該會想到兩個臨界位置，外切與內切以N、M分別為外切與內切的切點，O為軌跡圓心，設圖1中軌跡半徑為r1，圖2中軌跡半徑為r2，顯然：

但是半徑的取值范圍是否為（r1，r2）呢？其實不然，我們不妨移動圓心O’，看另外一種情況（如圖1）

在圖1中，不斷改變軌跡圓心O’的位置并保證軌跡圓與小圓相切，可以無限增大半徑r，因此軌跡圓與小圓外切時，r取值范圍為：

那么內切時的范圍是否也類似呢？通過改變軌跡圓心的位置發現半徑r2為內切情形的最小值，我們不妨研究一下當θ=45°時的臨界情況（如圖2）;

在圖2中，設軌跡半徑為r3，根據幾何關系，在△POO’中，由余弦定理不難得到以下方程：

因此，軌跡圓與小圓內切時，半徑的取值范圍為：

綜合（2）（4）可以發現，最終取值范圍即是（2）.

二、帶電粒子在組合場中的運動

例：某興趣小組用帶電粒子在如圖所示的電場和磁場中模擬蜜蜂的8字形運動，即在y>0的空間中和y<0的空間內同時存在著如下圖所示大小相等，方向相反的勻強電場，上、下電場以x軸為分界線，y軸左側和圖中豎直虛線MN右側均無電場，但有方向垂直紙面向里、和向外的大小相等的勻強磁場，MN與y軸的距離為2d.一重力不計的負電荷從y軸上的P（0，d）點以沿x軸正方向的初速度v0開始運動，經過一段時間后，又以相同的速度回到P點，則下列說法正確的是（?）

分析：本題一眼看去仿佛一個多解問題，帶電粒子從P點開始做一個類平拋運動，設在x軸上方的電場中運動時的水平位移為x1，不難得到以下方程：

帶電粒子在左側磁場運動時半徑為d，速度大小為v0，因此可以得到以下方程：

聯立（5）（6）兩式可得，

三、結論

本文主要通過對學生存在的誤區進行探討，目的在于讓學生了解其本質，同時培養其邏輯性，通過好玩生動的工具讓學生對物理產生興趣。在教學中，我們應該對某些問題的本質進行二次探討，也許在矛盾中就會有意想不到的收獲！

參考文獻

[1]孟憲松，陳景太.MATLAB軟件在中學物理中應用舉例[J].中學物理（高中版），2012，30（6）：40-41.

[2]許國梁.中學物理教學法[M].高等教育出版社，1981.

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