確界定義中隱含的數(shù)學(xué)思想

李輝

【摘要】本文旨在深入剖析上確界定義所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，闡明該思想有利于使得把抽象概念具體化，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)起來通俗易懂。也就是用反證法思想在定義上確界。

【關(guān)鍵詞】反證法思想;上確界。

1上確界的定義：

設(shè)是中的一個數(shù)集，若數(shù)滿足：

對一切，有，即是的上界;

對任意的，存在，使得。

在上確界的定義中闡明了兩件事情：第一件就是上確界首先應(yīng)當(dāng)是上界，這個是大家不難理解的。其次就是上確界是最小的上界。這一點(diǎn)在第二條中給予充分的說明，但對于第二點(diǎn)卻不好理解。其實(shí)在第二點(diǎn)中主要是在論證關(guān)鍵詞“最小”的含義。這里實(shí)質(zhì)上蘊(yùn)含了反證法思想，也就是在定義中用反證法去論述。

也就是假設(shè)（真實(shí)的上確界）并不是最小的上確界。但這里著重強(qiáng)調(diào)論證“最小”的含義。先唱個反調(diào)不是最小！什么叫不是最小呢？就是有比還要小的上確界。是誰呢？即（反證法假設(shè)的上確界）。就是假設(shè)現(xiàn)在是集合的上確界，并且也表達(dá)出比小一點(diǎn)點(diǎn)（即）的數(shù)的確切含義。

但當(dāng)（這個假想的上確界）充當(dāng)上確界時，矛盾產(chǎn)生了！因?yàn)槭紫壬洗_界是集合的上界，（也就是在集合內(nèi)部是老大）竟然在集合中跑出一個點(diǎn)超過那個假想的老大（即）。這就產(chǎn)生了矛盾。這說明這個假想的上確界是不對的，即不能再讓數(shù)再小一點(diǎn)點(diǎn)，如圖（1）所示。

2從另一個角度看上確界的定義

如果僅僅看第（ii）條，而沒有第一句話能說明什么？

應(yīng)該說明了，因?yàn)楫?dāng)時，這樣的有可能不存在，故;另外再結(jié)合第一句話看：有，這說明是的上界，說明了。把（1）式和（2）式結(jié)合起來看兩者之間是且的關(guān)系，故，如圖（2）所示。

3充說其他方面的補(bǔ)明

對于下確界首先是下界，其次是最大下界，同理也是蘊(yùn)含了反證法思想，分析過程同上。另外上確界在集合內(nèi)部是老大，但在集合外部確是老幺;而下確界在集合內(nèi)部是老幺，在集合外部是老大。所以把上確界與最大值等同起來以及把下確界與最小值等同起來均是指在集合內(nèi)部而言的。

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