巧用三角函數(shù)計(jì)算不定積分

劉偉彥 殷子超 尹遜汝

【摘要】不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。本文給出幾種巧用三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算不定積分的方法。

【關(guān)鍵詞】不定積分;三角函數(shù);三角代換

1引言

不定積分是數(shù)學(xué)中的有力工具，其重要性不言而喻。計(jì)算不定積分的方法不勝枚舉，而有些不定積分的計(jì)算，如果采用的方法得當(dāng)，將會(huì)變得更為簡(jiǎn)便。三角函數(shù)擁有特殊的性質(zhì)與關(guān)系，利用其特殊關(guān)系，也會(huì)使計(jì)算不定積分更加便捷。

2巧用三角函數(shù)計(jì)算不定積分

下面給出利用三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算不定積分的幾種方法。

2.1切割化弦

基本積分表中沒(méi)有切割函數(shù)的不定積分公式，但有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的原函數(shù)，因此，可利用切割化弦的方法來(lái)計(jì)算切割函數(shù)的不定積分。

例1 求。

解：

例2 求。

切割化弦是解決有關(guān)三角函數(shù)問(wèn)題的常用技巧，如果看到切割函數(shù)而沒(méi)有明確的思路的話，不妨試一試切割化弦，往往會(huì)使問(wèn)題迎刃而解。

2.2導(dǎo)數(shù)關(guān)系

可以利用同角三角函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，如 等和第一換元積分法（湊微分法）結(jié)合來(lái)計(jì)算某些三角函數(shù)的不定積分。

例3 ?求。

例4求。

例5求。

2.3平方關(guān)系

利用同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系，如，再結(jié)合其它方法來(lái)計(jì)算不定積分。

例6 求。

例7求。

2.4倍角公式

利用二倍角公式，化簡(jiǎn)被積函數(shù)，再計(jì)算不定積分。

例8 求。

例9求。

這兩個(gè)例題中的不定積分可以通過(guò)應(yīng)用二倍角公式，使問(wèn)題簡(jiǎn)化 。三角函數(shù)公式的正用逆用熟練掌握后，可以發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)的靈活性是不可比擬的。

例10 求。

解：（法一） 湊微分

（法二 ）積化和差

2.5萬(wàn)能公式

當(dāng)被積函數(shù)是三角有理式時(shí)，可以嘗試萬(wàn)能公式代換，往往會(huì)有效果。

例11求。

3結(jié)語(yǔ)

三角函數(shù)公式繁多，三角函數(shù)的性質(zhì)與關(guān)系非常特殊，使用起來(lái)也極其方便，三角函數(shù)的靈活性是不可替代的，利用三角函數(shù)的靈活性可以大大簡(jiǎn)化不定積分的計(jì)算。因此，熟練掌握三角函數(shù)的公式是重中之重，是大前提。其次，不定積分重在方法，妙在思路，當(dāng)我們第一次遇到某些題型時(shí)，苦苦思索卻無(wú)從下手，想盡一切辦法搞明白時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)那些思路是多么精妙。在我們伸頸、側(cè)目、微笑、默嘆、以為妙絕之余，我們也不斷積累了方法技巧，逐步打破瓶頸。但這些思路不是憑空想出的，而是通過(guò)練習(xí)不斷積累的，熟練掌握公式并不斷積累，對(duì)于不定積分的學(xué)習(xí)而言必將大有裨益。

致謝

本論文得到泰山學(xué)院教學(xué)改革項(xiàng)目201837，201809及項(xiàng)目2019HX246與2019HX247的資助。

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