基于分數階傅里葉變換的滾動軸承故障診斷

溫鵬輝

摘要：分數階傅里葉變換作為傅里葉變換的擴展，它在傅里葉變換的基礎上增加了一個新的優點，它在診斷滾動軸承故障時，可以使不穩定的軸承故障信號的時頻特性更好的展示出來。再通過分析故障信號的時頻特性，從而得出滾動軸承故障是外圈故障、內圈故障還是滾動體故障，并分析其故障程度。

Abstract： As an extension of the Fourier transform， the fractional Fourier transform adds a new advantage to the Fourier transform in diagnosing rolling bearing faults， the time-frequency characteristic of the unstable bearing fault signal can be displayed better. By analyzing the time-frequency characteristics of the fault signal， it can find out whether the rolling bearing fault is the outer ring fault， the Inner Ring Fault or the rolling element fault， and analyze the fault degree.

關鍵詞：分數階傅里葉變換;滾動軸承;故障診斷

Key words： fractional Fourier transform;rolling bearing;fault diagnosis

0? 引言

滾動軸承作為現代機械設備必不可少的機械零件之一，滾動軸承一旦出現故障，就會導致機械設備的運行發生錯誤，從而造成損失，所以我們就要對滾動軸承進行實時的檢測和診斷。如何進行診斷，國內外進行了許多研究。從20世紀60年代開始，以美國為首的國家就已經開始對滾動軸承的故障開始了研究，我國后來也加入到滾動軸承的故障研究的隊伍中來。隨著科學技術的不斷發展，到現在，已經有人研究開發了基于計算機的滾動軸承故障診斷系統，實現了滾動軸承故障診斷的智能化和自動化，擺脫了人為因素的干擾。

滾動軸承故障診斷方法一般可以分為以下幾種：溫度診斷法、油樣分析法、聲學診斷法、振動檢測法、接觸電阻法等。這些方法中，最為人們廣泛接受的是振動檢測法，因為其診斷結果相較于其它方法更準確。

1980年，V.Namias從特征值和特征函數的角度提出了分數階傅立葉變換的概念，定義為傳統傅立葉變換的分數冪形式。它是一種在時頻域內研究振動信號的新方法。近年來，分數階傅里葉變換已經成功應用在一些機械設備的故障診斷中，例如異步電動機的故障診斷。

1? 分數階傅里葉變換

1.1 分數階傅里葉變換的定義

一般情況下，信號函數X（t）的p階分數傅里葉變換可以表示為Xp（t）或Fpx（t），其定義為：

其中傅里葉變換的核函數Kα（u，t），如式（2）所示：

式中：α是旋轉角度，與階數p有以下關系：α=pπ/2。p的取值在0到1之間，當α=0（即p=0）時，此時信號對應初始信號，當α=π/2（即p=1）時，此時信號對應經典階傅里葉變換。隨著p值從0到1的變化，分數階傅里葉變換就把初始信號變成了經典的傅里葉變換，這樣一來，分數階傅里葉變換就能給出初始信號從時域到頻域的所有特性。

1.2 分數階傅里葉變換的物理意義

對于分數階傅里葉變換的物理意義，Almeida在1993年提出：分數階傅里葉變換是在時間—頻域平面的旋轉，由時頻分析的一種信號分析方法。

滾動軸承的振動信號是一種有限長的線性調頻信號，是一種典型的非平穩信號，在時頻平面上的時寬和帶寬都很大，不適合用處理平穩信號的傅里葉變換來檢測。線性調頻信號在時間—頻率平面上是背鰭狀的直線，將時間軸和頻率軸旋轉α角后，得到u-Xp（u）的坐標系，這樣就讓線性調頻信號在Xp（u）軸上的投影凝聚成為一個點，如圖1所示。

1.3 分數階傅里葉變換的時頻特性

要想用分數階傅里葉變換來檢測軸承故障，就要知道初始振動信號經過分數階傅里葉變換的信號的時頻特性，這就要從時頻分析出發，研究分數階傅里葉變換與傅里葉變換、短時傅里葉變換的關系，就能進一步得知分數階傅里葉變換的時頻特性。

傅里葉變換是把初始信號從復雜的時域信號轉變為頻域信號，得到信號的頻域信息。設X（ω）是x（t）的傅里葉變換，有■。相較于傅里葉變換，分數階傅里葉變換既有傅里葉變換的性質，又因為其存在階數，還有其特有的性質，其中一個重要的特點是分數階傅里葉變換具有線性疊加性。這表示在檢測多分量線性調頻信號時，不會產生交叉干擾。

所謂短時傅里葉變換，就是在初始信號的基礎上加上窗函數，截取初始信號中每一段固定的信號，再進行傅里葉變換，從而分析窗內信號的特性。有研究表明分數階傅里葉變換的短時傅里葉變換與初始信號的短時傅里葉變換相同，這表明分數階傅里葉變換的短時傅里葉變換是由旋轉角度α后坐標軸所表示的短時傅里葉變換，其變換關系如下：

2? 線性調頻信號

2.1 線性調頻信號的表示

2.2 基于分數階傅里葉變換的線性調頻信號的參數估計

由上述可知，分數階傅里葉變換在檢測線性調頻信號時，不會產生交叉干擾。由上式可知線性調頻信號有四個主要參數，分別是信號幅值A、信號相位φ、初始頻率f0以及調頻斜率k。其中初始頻率f0以及調頻斜率k能全面地反映出信號的變化規律，所以在參數估計時要重點關注它們。

由線性調頻信號的在分數階傅里葉變換域頻譜的峰值坐標（α，mmax），可得：

3? 基于分數階傅里葉變換的滾動軸承故障診斷

根據上文所述，可以用分數階傅里葉變換來檢測發生故障時滾動軸承的振動信號，從而分析滾動軸承的故障所在和故障程度。本文采用美國西儲大學實驗室的滾動軸承數據，分析其時域和分數階傅里葉變換的波形，從而驗證基于分數階傅里葉變換的滾動軸承故障診斷的方法是否有效。

3.1 初始數據的時域與傅里葉變換

本文選用滾動軸承直徑為0.014inch的故障數據，進行傅里葉變換，用MATLAB軟件得出其時域與傅里葉變換頻譜波形如圖2-圖4所示。

根據傅里葉變換頻譜圖，我們可以看出軸承發生了故障，但不能看出其故障程度，且由于滾動軸承發生小故障時產生的噪聲與故障信號頻譜辨別不清，這不利于我們提取滾動軸承的故障信號。同時噪聲也會對檢測故障信號中的線性調頻信號產生干擾。

3.2 分數階傅里葉變換頻譜分析

選階數p=1，對初始信號進行分數階傅里葉變換，得到分數階傅里葉變換頻譜圖，如圖5-圖7所示。

從圖中我們可以看出：相較于傅里葉變換，分數階傅里葉變換使得故障信號的故障頻率峰值變得更加清晰，比傅里葉變換的精度更高。

4? 結語

本文對基于分數階傅里葉變換的滾動軸承故障診斷進行了研究，解析了分數階傅里葉變換的定義，剖析了滾動軸承故障信號中的線性調頻信號，并給出了分析線性調頻信號的方法，成功地用分數階傅里葉變換對各種故障的信號進行分析。

參考文獻：

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