《繩法經》中的數學知識

李嬌

《繩法經》如果按照意譯，即為“結繩的規則”，它成書的具體時間已無法考證，據推測，它大約是在公元前8世紀到2世紀間陸續完成的，問世的時間比印度知名的史詩《摩訶婆羅多》和《羅摩衍那》還要早，《繩法經》是印度的數學文獻，共有7本，先后由博德雅納（Baydhayana）、阿帕斯坦巴（apastanba）和卡提亞訥（Katyavana）三個人編撰而成。

《繩法經》中記載的主要內容是祭壇的建造問題，作者利用繩子和竹桿給出了固定的測量法則，其中涉及的數學知識比較零碎，但足以說明在成書時印度數學家已取得了很出色的成就。

祭壇的建造必須按照一系列嚴格的指令來完成，在設計與建造的過程中，人們需要顧及朝向、地基的形狀，所有祭壇的地基分為兩大類，一類是面積成整數比的正方形，另一類則是等積的各種多邊形，這需要運用到很多的幾何作圖知識，如直角、正方形、邊長為整數的直角三角形、梯形等的作法;從面積為a的正方形出發，作面積為na的正方形;把直角三角形改為等積的正方形;等等，在這里，畢達哥拉斯定理得到了廣泛的應用。

《繩法經》中詳細介紹了用線繩和竹桿拉出直角的方法，并用到很多的邊長為正整數的直角三角形及其相似形，如邊長為3.4.5;5.12.13;8.15.17;7.24.25;12.35.37;15.36.39等直角三角形，以及與這些三角形等面積的梯形。

利用畢達哥拉斯定理可以由已知正方形作面積為其2倍、3倍以至n倍的正方形，并進一步作面積等于兩個不等積正方形面積之和a+b的正方形，阿帕斯坦巴把作圖法則敘述為：“拼合兩個不等積正方形，在大正方形的邊上截取等于小正方形邊長的線段，經過此平面區域斜拉繩子，使兩個正方形合在一起，”如圖1.此處AB=a+b。

《繩法經》中還給出了求兩個已知正方形面積之差的正方形面積問題及其解法，其解法是：以點A為中心，以大正方形邊長為半徑，在底邊CB上截取線段CD，則CD=b-a（圖2）

畢達哥拉斯定理還可用來把已知矩形改為等積的正方形，如圖3.首先在邊長AB=a，AD=b的矩形中分割出正方形ABFE，使其面積等于a;用直線HG平分余下的部分四邊形EFCD;在BF上作矩形BIKF使其與矩形EFGH全等，則原矩形ABCD與磬折形AIKFGHA等積，它的面積等于兩個已知的正方形AILH與FKLG的面積之差，這樣就完成了作圖。

如果在圖2中引進輔助線段，如圖4所示，那么就能得到一個可以從直觀上表示畢達哥拉斯定理的圖形，以斜邊的長為邊長的正方形由s、Ⅲ、Ⅳ和s四部分組成，而三角形I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等積，由此可以推測，在作者撰寫《繩法經》時，印度的數學家已經知道畢達哥拉斯定理的證明方法，但也有可能是，在發現了邊長為整數的特殊情形后，才得到定理證明的一般方法，但是這也并不排除從其他民族那里得到這一結果的可能性，事實上，只要發現了倍正方形問題與古希臘倍立方體問題的相似性，就可以得出這個結論。

很多印度學者對邊長為整數的直角三角形的作法產生了濃厚的興趣，婆羅摩笈多和馬哈維拉給出了一般的作法，在印度，邊長為整數的直角三角形的作法始終與建筑學聯系在一起。