復(fù)數(shù)在解題中的運(yùn)用

劉建國

摘 要：復(fù)數(shù)的代數(shù)、向量以及幾何表示把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、向量、三角和解析幾何有效的聯(lián)系起來，因而復(fù)數(shù)在求解代數(shù)、三角、向量和解析幾何問題中有著廣泛的運(yùn)用，筆者借助于數(shù)學(xué)中的這種對應(yīng)思想闡述復(fù)數(shù)在解題中的運(yùn)用，解決高中的一些數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵字：復(fù)數(shù);復(fù)數(shù)幾何;表示對應(yīng)思想解題

復(fù)數(shù)可以由一個有序?qū)崝?shù)對唯一確定，使得我們借助于復(fù)平面來表示復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何表示與向量以及解析幾何本質(zhì)上都是表示在平面直角坐標(biāo)系兩個變量，將平面直角坐標(biāo)系看作復(fù)平面，則復(fù)數(shù)對應(yīng)于坐標(biāo)系的一個點(diǎn)，因而復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的，那么在平面直角坐標(biāo)系中的一些問題，也可以借助于復(fù)數(shù)的知識解決，這種對應(yīng)思想是數(shù)學(xué)中解題常用的思路，它使得各個數(shù)學(xué)對象能夠相互轉(zhuǎn)化，相互結(jié)合和深入，在解題方法上呈現(xiàn)多樣化，也是體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的聯(lián)系，而非一個個孤立的知識點(diǎn).

例1（2019全國卷I）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（）

A.（x+1）2+y2=1 B.（x-1）2+y2=1

C.x2+（y-1）2=1 D.x2+（y+1）2=1

解z=x+yi，所以|x-1+yi|=1，即：（x-1）2+y2=1.

上題主要考察復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面上的一個復(fù)數(shù)對應(yīng)于平面直角坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)，它表明點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系滿足一個圓的關(guān)系，那么對于一般的圓錐曲線上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)也滿足一個方程的關(guān)系，曲線上的點(diǎn)同樣也可以用復(fù)數(shù)表示，這種思路可以幫助我們解決一些圓錐曲線問題，如：

解析幾何一直是高考的一個重點(diǎn)與難點(diǎn)，其主要考察的是直線與圓錐曲線、圓的一些問題，對于直線方程，我們可以借助于復(fù)數(shù)的知識，利用復(fù)數(shù)表達(dá)直線方程：設(shè)z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，在復(fù)平面上所在的直線方程為：z-z2=t（z1-z2）（其中t為參數(shù)t∈R）.這個方程可以幫助我們解決圓錐曲線與直線的相關(guān)問題.如：

例2（2019江蘇高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的焦點(diǎn)為F1（-1，0）.F2（1，0），過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，與圓F2：（x-1）2+y2=4a2交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B，連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連接DF1，已知

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)

解（1）由題意可知：c=1，，則D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，F(xiàn)1對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，，于是有：，解得：a=2或（舍），于是=b2=a2-1，即：b2=3，所以橢圓方程為.

（2）根據(jù)題意圓F2：（x-1）2+y2=16，其參數(shù)方程為，橢圓的參數(shù)方程為根據(jù)題意A（1，4），設(shè)A，B，E對應(yīng)的復(fù)數(shù)為ZA=1+4i，ZB=4cosθ+1+i4sinθ，ZE=2cosφ+isinφ，∵A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，（t為參數(shù)），將上述復(fù)數(shù)代入可知：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可知，sinθ=t，∵cosθ2+sinθ2=1，即，∴t=1或，∴ZB=1+4i（舍）或，又∴B，E，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，（λ為參數(shù)），代入可知：，，同上解得，或，或，E在第三象限，，則.

在平面直角坐標(biāo)系中，利用單位圓引入了三角函數(shù)，單位圓上的復(fù)數(shù)可以表示成三角函數(shù)和的形式，即，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角式運(yùn)算法則及棣莫弗定理，正是復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的這種對應(yīng)，在解題上給了我們一定的啟發(fā)與思考，不妨借助于復(fù)數(shù)的知識解決三角函數(shù)的有關(guān)問題.三角函數(shù)在解三角形中有著廣泛的應(yīng)用，因而復(fù)數(shù)也可以運(yùn)用于解三角形，在三角函數(shù)與解三角形的本質(zhì)上是復(fù)數(shù)的三角表達(dá)形式與復(fù)數(shù)的性質(zhì)處理三角函數(shù)的問題。

參考文獻(xiàn)

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