如何利用三角函數的性質求解解析式中的參數ω

胡愛朝

根據三角函數的性質求解參數ω的值或范圍是三角函數中比較典型的問題，能有效考查學生對三角函數基本性質的掌握程度。關于ω的求解問題是近幾年考查的熱點，本文就如何突破解析式中參數ω的方法做了總結，以供讀者參考。

一、利用三角函數的對稱性求解參數ω

函數的對稱中心為，對稱軸為，函數的對稱中心和對稱軸都是和ω有關，因此利用對稱性就可以求解含參數ω的問題。

例1：將函數的圖像向左平移個單位后，所得圖像關于y軸對稱，則ω的最小值為（ ）

A.1 B.2 C.4 D.

分析：平移后為：，平移后的圖像關于y軸對稱，所以，即ω=6k-1，因為ω>0，所以當k=1時ω的最小值為4，所以選C

評析：三角函數的對稱軸，對稱中心影響著參數ω的取值或范圍，可以利用三角函數的整體思想，將ωx+φ作為一個整體代入相應的性質就可以求解ω的值或范圍。

二、利用三角函數的單調性求解參數ω

是一個復合函數，外部函數是y=Asint，內部函數是t=ωx+φ，內部是單調遞增函數，所以尋找外部函數y=Asint的單調區間，就是復合函數的單調區間。在利用單調性求解參數ω的問題中，已知的單調區間M是函數（A>0，ω>0）的單調區間D的子集，利用這個結論就可求ω范圍。

例2.已知函數，若函數f（x）在區間上為單調遞減函數，則實數ω的取值范圍是（）

A. B. C. D.

分析：

因為函數f（x）在上單調遞減，所以

，

即，

因為

得

所以當k=0時，，故選B。

評析：在利用單調性求ω的問題中，可先求y=f（x）的單調區間D，然后利用題目中給定的區間這個關系求解，區間M的長度必不超過，兩個性質同時運用就可求出ω范圍。

三、利用零點的距離求參數ω

對函數的圖象分析可知，函數兩個相鄰的零點之間的距離為半個周期，距離的大小影響著周期，進而影響著ω的范圍。

例3.已知函數若函數f（x）在區間（π，2π）內沒有零點，則ω的取值范圍是（）

A.

B.

C.

D.

分析：函數f（x）在區間（π，2π）內沒有零點，可以分為兩種情況：

（1），

則，

則，取k=0，

∵ω>0，

;

（2），

則，

解得：，

取k=0，;

綜上可知k的取值范圍是，選D.

評析：本題首先利用降冪公式和輔助角公式把函數的解析式化為標準型，函數f（x）在區間（π，2π）內沒有零點，根據x的范圍求出的范圍，使其在或在內恰好函數無零點，求出ω的范圍。

四、利用三角函數多種性質綜合運用來求ω

三角函數的性質包括單調性、周期性、奇偶性、對稱性、最值和零點等多種性質，這些性質都和函數的周期有關，進而影響著ω的范圍，解題時應圍繞周期變化這一方向來分析。

例4.已知函數為f（x）的零點，為y=f（x）圖像的對稱軸，且f（x）在單調，則ω的最大值為

（A）11? ? ? ? （B）9? ? ?（C）7? ? ? ? （D）5

分析：函數的一條對稱軸為，是f（x）的一個零點，所以，即ω=2k+1，四個選項都有對應的k值存在。

檢驗：當ω=11時，周期所以函數在區間上不單調

當ω=9時，周期所以f（x）在上單調，所以ω的最大值為9，答案為B.

結語：在求解ω的問題中，要熟悉三角函數的基本圖象，理解周期性、單調性、對稱性和最值之間的聯系，學會數形結合思想和整體思想，只有這樣才能解決有關ω的難點.